Question

（2012•北塘區(qū)一模）已知拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(

5

2

，-

27

16

)，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)C（1，0），若此拋物線與x軸的另一交點(diǎn)為點(diǎn)B，與y軸的交點(diǎn)為點(diǎn)A，設(shè)P、Q分別為AB、OB邊上的動(dòng)點(diǎn)，它們同時(shí)分別從點(diǎn)A、O向B點(diǎn)勻速運(yùn)動(dòng)，速度均為每秒1個(gè)單位，設(shè)P、Q移動(dòng)時(shí)間為t（0≤t≤4）
（1）求此拋物線的解析式并求出P點(diǎn)的坐標(biāo)（用t表示）；
（2）當(dāng)△OPQ面積最大時(shí)求△OBP的面積；
（3）當(dāng)t為何值時(shí)，△OPQ為直角三角形？
（4）△OPQ是否可能為等邊三角形？若可能請(qǐng)求出t的值；若不可能請(qǐng)說(shuō)明理由，并改變點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度，使△OPQ為等邊三角形，求出此時(shí)Q點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的速度和此時(shí)t的值．

Answer 1

分析：（1）將拋物線的解析式設(shè)為頂點(diǎn)式，再將C點(diǎn)坐標(biāo)代入該解析式中，即可求得待定系數(shù)的值．求解P點(diǎn)坐標(biāo)時(shí)，可過(guò)P作y軸的垂線，通過(guò)構(gòu)建的相似三角形求出P點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)．
（2）在（1）中求得P點(diǎn)坐標(biāo)，以O(shè)Q為底、P點(diǎn)縱坐標(biāo)為高求出關(guān)于△OPQ的面積和t的函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)所得函數(shù)的性質(zhì)求出△OPQ的面積最大值時(shí)，對(duì)應(yīng)的t值；由此能得到AP的長(zhǎng)，△OPB和△AOB中，若以BP、AB為底，那么它們的高相同，底的比就是面積的比，由此得解．
（3）此題分兩種情況：∠OQP=90°或∠OPQ=90°；第一種情況，PQ∥y軸，利用相應(yīng)的比例線段即可求出t的值；后一種情況可利用勾股定理來(lái)進(jìn)行求解．
（4）若△OPQ為等邊三角形，Q點(diǎn)運(yùn)動(dòng)速度必須滿足OQ等于P點(diǎn)橫坐標(biāo)的2倍（P點(diǎn)在線段OQ的中垂線上），然后根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)求出對(duì)應(yīng)的t值．

解答：解：（1）設(shè)拋物線的解析式為：y=a（x-

5

2

）²-

27

16

，代入點(diǎn)（1，0），得：a=

3

4

；
∴y=

3

4

（x-

5

2

）²-

27

16

．
令y=0得：x₁=4，x₂=1，∴B（4，0）．
令x=0得：y=3，∴A（0，3），AB=5．
如右圖，過(guò)點(diǎn)P作PM⊥y軸，垂足為點(diǎn)M，則：

AM

AO

=

PM

OB

=

AP

AB

，得：

AM

3

=

PM

4

=

t

5

∴AM=

3

5

t，PM=

4

5

t
∴P（

4

5

t，3-

3

5

t）．

（2）如圖，過(guò)點(diǎn)P作PN⊥x軸，垂足為點(diǎn)N，
S_△OPQ=

1

2

OQ•PN=

1

2

t•（3-

3

5

t）=

3

2

t-

3

10

t²=-

3

10

（t-

5

2

）²+

15

8

∴當(dāng)t=

5

2

時(shí)，S_△OPQ最大=

15

8

．
此時(shí)OP為AB邊上的中線
∴S_△OBP=

1

2

S_△AOB=

1

2

×

1

2

×3×4=3．

（3）若∠OQP=90°，則

BP

AB

=

BQ

BO

，
∴

5-t

5

=

4-t

4

，得t=0（舍去）．
若∠OPQ=90°，則OP²+PQ²=OQ²，
∴（3-

3

5

t）²+（

4

5

t）²+（3-

3

5

t）²+（

1

5

t）²=t²
解得：t₁=3，t₂=15（舍去）．
當(dāng)t=3時(shí)，△OPQ為直角三角形．

（4）∵OP²=（3-

3

5

t）²+（

4

5

t）²，PQ²=（3-

3

5

t）²+（

1

5

t）²；
∴OP≠PQ，
∴△OPQ不可能是等邊三角形．
設(shè)Q點(diǎn)的速度為每秒k個(gè)單位時(shí)，△OPQ為等邊三角形
∴kt=2•

4

5

t，得 k=

8

5

∵PN=

3

2

OP=

3

2

•

8

5

t=

4 3

5

t
∴3-

3

5

t=

4 3

5

t，得t=

20 3 -15

13

．

點(diǎn)評(píng)：該題的難度較大，綜合了二次函數(shù)、直角三角形與等邊三角形的判定、圖形面積的求法等知識(shí)．在解答（3）題時(shí)，要注意直角三角形的直角并沒(méi)有確定，要分類進(jìn)行討論．