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        1. (2012•北塘區(qū)一模)已知拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(
          5
          2
          ,-
          27
          16
          )
          ,且經(jīng)過(guò)點(diǎn)C(1,0),若此拋物線與x軸的另一交點(diǎn)為點(diǎn)B,與y軸的交點(diǎn)為點(diǎn)A,設(shè)P、Q分別為AB、OB邊上的動(dòng)點(diǎn),它們同時(shí)分別從點(diǎn)A、O向B點(diǎn)勻速運(yùn)動(dòng),速度均為每秒1個(gè)單位,設(shè)P、Q移動(dòng)時(shí)間為t(0≤t≤4)
          (1)求此拋物線的解析式并求出P點(diǎn)的坐標(biāo)(用t表示);
          (2)當(dāng)△OPQ面積最大時(shí)求△OBP的面積;
          (3)當(dāng)t為何值時(shí),△OPQ為直角三角形?
          (4)△OPQ是否可能為等邊三角形?若可能請(qǐng)求出t的值;若不可能請(qǐng)說(shuō)明理由,并改變點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度,使△OPQ為等邊三角形,求出此時(shí)Q點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的速度和此時(shí)t的值.
          分析:(1)將拋物線的解析式設(shè)為頂點(diǎn)式,再將C點(diǎn)坐標(biāo)代入該解析式中,即可求得待定系數(shù)的值.求解P點(diǎn)坐標(biāo)時(shí),可過(guò)P作y軸的垂線,通過(guò)構(gòu)建的相似三角形求出P點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo).
          (2)在(1)中求得P點(diǎn)坐標(biāo),以O(shè)Q為底、P點(diǎn)縱坐標(biāo)為高求出關(guān)于△OPQ的面積和t的函數(shù)關(guān)系式,根據(jù)所得函數(shù)的性質(zhì)求出△OPQ的面積最大值時(shí),對(duì)應(yīng)的t值;由此能得到AP的長(zhǎng),△OPB和△AOB中,若以BP、AB為底,那么它們的高相同,底的比就是面積的比,由此得解.
          (3)此題分兩種情況:∠OQP=90°或∠OPQ=90°;第一種情況,PQ∥y軸,利用相應(yīng)的比例線段即可求出t的值;后一種情況可利用勾股定理來(lái)進(jìn)行求解.
          (4)若△OPQ為等邊三角形,Q點(diǎn)運(yùn)動(dòng)速度必須滿足OQ等于P點(diǎn)橫坐標(biāo)的2倍(P點(diǎn)在線段OQ的中垂線上),然后根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)求出對(duì)應(yīng)的t值.
          解答:解:(1)設(shè)拋物線的解析式為:y=a(x-
          5
          2
          2-
          27
          16
          ,代入點(diǎn)(1,0),得:a=
          3
          4
          ;
          ∴y=
          3
          4
          (x-
          5
          2
          2-
          27
          16

          令y=0得:x1=4,x2=1,∴B(4,0).
          令x=0得:y=3,∴A(0,3),AB=5.
          如右圖,過(guò)點(diǎn)P作PM⊥y軸,垂足為點(diǎn)M,則:
          AM
          AO
          =
          PM
          OB
          =
          AP
          AB
          ,得:
          AM
          3
          =
          PM
          4
          =
          t
          5

          ∴AM=
          3
          5
          t,PM=
          4
          5
          t
          ∴P(
          4
          5
          t,3-
          3
          5
          t).

          (2)如圖,過(guò)點(diǎn)P作PN⊥x軸,垂足為點(diǎn)N,
          S△OPQ=
          1
          2
          OQ•PN=
          1
          2
          t•(3-
          3
          5
          t)=
          3
          2
          t-
          3
          10
          t2=-
          3
          10
          (t-
          5
          2
          2+
          15
          8

          ∴當(dāng)t=
          5
          2
          時(shí),S△OPQ最大=
          15
          8

          此時(shí)OP為AB邊上的中線
          ∴S△OBP=
          1
          2
          S△AOB=
          1
          2
          ×
          1
          2
          ×3×4=3.

          (3)若∠OQP=90°,則
          BP
          AB
          =
          BQ
          BO
          ,
          5-t
          5
          =
          4-t
          4
          ,得t=0(舍去).
          若∠OPQ=90°,則OP2+PQ2=OQ2,
          ∴(3-
          3
          5
          t)2+(
          4
          5
          t)2+(3-
          3
          5
          t)2+(
          1
          5
          t)2=t2
          解得:t1=3,t2=15(舍去).
          當(dāng)t=3時(shí),△OPQ為直角三角形.

          (4)∵OP2=(3-
          3
          5
          t)2+(
          4
          5
          t)2,PQ2=(3-
          3
          5
          t)2+(
          1
          5
          t)2;
          ∴OP≠PQ,
          ∴△OPQ不可能是等邊三角形.
          設(shè)Q點(diǎn)的速度為每秒k個(gè)單位時(shí),△OPQ為等邊三角形
          ∴kt=2•
          4
          5
          t,得 k=
          8
          5

          ∵PN=
          3
          2
          OP=
          3
          2
          8
          5
          t=
          4
          3
          5
          t
          ∴3-
          3
          5
          t=
          4
          3
          5
          t,得t=
          20
          3
          -15
          13
          點(diǎn)評(píng):該題的難度較大,綜合了二次函數(shù)、直角三角形與等邊三角形的判定、圖形面積的求法等知識(shí).在解答(3)題時(shí),要注意直角三角形的直角并沒(méi)有確定,要分類進(jìn)行討論.
          練習(xí)冊(cè)系列答案
          相關(guān)習(xí)題

          科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

          (2012•北塘區(qū)一模)定義:若拋物線的頂點(diǎn)與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)構(gòu)成的三角形是直角三角形,則這種拋物線就稱為:“美麗拋物線”.如圖,直線l:y=
          1
          3
          x+b經(jīng)過(guò)點(diǎn)M(0,
          1
          4
          ),一組拋物線的頂點(diǎn)B1(1,y1),B2(2,y2),B3(3,y3),…Bn(n,yn) (n為正整數(shù)),依次是直線l上的點(diǎn),這組拋物線與x軸正半軸的交點(diǎn)依次是:A1(x1,0),A2(x2,0),A3(x3,0),…An+1(xn+1,0)(n為正整數(shù)).若x1=d(0<d<1),當(dāng)d為( 。⿻r(shí),這組拋物線中存在美麗拋物線.

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          科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

          (2012•北塘區(qū)一模)2011年末中國(guó)總?cè)丝?34735萬(wàn)人,用科學(xué)記數(shù)法表示為
          1.35×105
          1.35×105
          萬(wàn)人.(保留三位有效數(shù)字)

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          科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

          (2012•北塘區(qū)一模)如圖,把一個(gè)長(zhǎng)方形的紙片對(duì)折兩次,然后剪下一個(gè)角,正好得到一個(gè)完整的菱形.要使得這個(gè)菱形的一個(gè)銳角為60°,則剪口與折痕所成的角α的度數(shù)應(yīng)為
          30°或60°
          30°或60°

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          科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

          (2012•北塘區(qū)一模)(1)(-1)2012-|-7|+
          9
          ×(3-π)0+cos60°
          ;
          (2)先化簡(jiǎn)分式,再求值:
          x+1
          x
          ÷(x-
          1+x2
          2x
          )
          ,其中x=3.

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          科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

          (2012•北塘區(qū)一模)某班師生組織植樹(shù)活動(dòng),上午8時(shí)從學(xué)校出發(fā),到植樹(shù)地點(diǎn)后原路返校,如圖為師生離校路程s與時(shí)間t之間的圖象.請(qǐng)回答下列問(wèn)題:

          (1)問(wèn)師生何時(shí)回到學(xué)校?
          (2)如果運(yùn)送工具的三輪車比師生遲半小時(shí)出發(fā),與師生同路勻速前進(jìn),早半個(gè)小時(shí)到達(dá)植樹(shù)地點(diǎn),請(qǐng)?jiān)趫D中,畫出該三輪車離校路程s與時(shí)間t之間的圖象,并結(jié)合圖象直接寫出三輪車追上師生時(shí)離學(xué)校的路程;
          (3)如果師生騎自行車上午8時(shí)出發(fā),到植樹(shù)地點(diǎn)后,植樹(shù)需2小時(shí),要求13時(shí)至14時(shí)之間返回學(xué)校,往返平均速度分別為每小時(shí)8km、6km.試通過(guò)計(jì)算說(shuō)明植樹(shù)點(diǎn)選在距離學(xué)校多遠(yuǎn)較為合適.

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