Question

【題目】如圖，點(diǎn)A、C分別是一次函數(shù)y＝﹣x+3的圖象與y軸、x軸的交點(diǎn)，點(diǎn)B與點(diǎn)C關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，二次函數(shù)y＝x2+bx+c的圖象經(jīng)過點(diǎn)B，且該二次函數(shù)圖象上存在一點(diǎn)D，使四邊形ABCD能構(gòu)成平行四邊形．

（1）求二次函數(shù)的表達(dá)式；

（2）動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A到點(diǎn)D，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)C到點(diǎn)A都以每秒1個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．

①當(dāng)t為何值時(shí)，有PQ丄AC？

②當(dāng)t為何值時(shí)，四邊形PDCQ的面積最�。看藭r(shí)四邊形PDCQ的面積是多少？

Answer 1

【答案】（1）y＝x2﹣x﹣3；（2）①當(dāng)t＝秒時(shí)，PQ⊥AC，②當(dāng)t＝時(shí)，四邊形PDCQ的面積最小，最小面積為

【解析】

（1）先利用一次函數(shù)的解析式確定A點(diǎn)和C點(diǎn)坐標(biāo)，再利用點(diǎn)B與點(diǎn)C關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱得到點(diǎn)B點(diǎn)坐標(biāo)和BC的長，接著利用平行四邊形的性質(zhì)求出D點(diǎn)坐標(biāo)，然后把點(diǎn)B和點(diǎn)D的坐標(biāo)代入二次函數(shù)y＝x2+bx+c得關(guān)于b、c的方程組，再解方程組求出b、c即可得到二次函數(shù)表達(dá)式；

（2）①先利用勾股定理計(jì)算出AC＝5，再利用t表示出AP＝t，CQ＝t，AQ＝5﹣t，當(dāng)PQ⊥AC時(shí)可證明△APQ∽△CAO，則利用相似比得到，解得t＝，然后解方程求出t即可；

②作QH⊥AD于H，如圖，先證明△AQH∽△CAO，利用相似比可表示出QH＝（5﹣t），再根據(jù)三角形面積公式，利用S四邊形PDCQ＝S△ACD﹣S△AQP得到四邊形PDCQ的面積＝t2﹣t+12，然后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求解．

解：（1）當(dāng)x＝0，y＝﹣x+3＝3，則點(diǎn)A（0，3），

當(dāng)y＝0，﹣x+3＝0，解得x＝4，則點(diǎn)C（4，0），

∵點(diǎn)B與點(diǎn)C關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，

∴點(diǎn)B（﹣4，0），BC＝8，

∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AD∥x軸，AD＝BC＝8，

∴D（8，3），

將點(diǎn)B（﹣4，0），點(diǎn)D（8，3）代入二次函數(shù)y＝x2+bx+c得，解得，

∴二次函數(shù)表達(dá)式y＝x2﹣x﹣3；

（2）①∵A（0，3），C（4，0），

∴AC＝＝5，

，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)了t秒時(shí)，則AP＝t，CQ

②作QH⊥AD于H，如圖，

∵∠HAQ＝∠OCA，

∴△AQH∽△CAO，

∴，即，解得QH＝（5﹣t），

∴S四邊形PDCQ＝S△ACD﹣S△AQP

＝38﹣t（5﹣t）

＝t2﹣t+12

＝（t﹣）2+，

∴當(dāng)t＝時(shí)，四邊形PDCQ的面積最小，最小面積為．