Question

在四邊形ABCD中，E是AD上一點(diǎn)，且BE∥CD，AB∥CE，△ABE的面積記為S₁，△BEC的面積記為S₂，△DEC的面積記為S₃．
（1）試判斷△ABE與△ECD是否相似，并說明理由．
（2）當(dāng)S₁=6，S₃=3時(shí)，求S₂的值．
（3）猜想S₁，S₂，S₃之間的等量關(guān)系．

Answer 1

分析：（1）通過BE∥CD，AB∥CE證得角相等，從而得到△ABE∽△ECD；
（2）先根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例求出

EB

DC

的值，再根據(jù)△BEC和△DEC邊BE和DC上的高相等即可求出S₂的值；
（3）由（2）中所求得S₂的值及已知S₁，S₃的值，找出等量關(guān)系即可．

解答：解：（1）∵BE∥CD，∴∠BEC=∠DCE，
∵AB∥CE，∴∠BEC=∠ABE，∠A=∠DEC，
∴∠DCE=∠ABE，
∴△ABE∽△ECD；

（2）∵△ABE∽△ECD，S₁=6，S₃=3，
∴

EB

DC

=

2

，
∵BE∥CD，
∴△BEC和△DEC邊BE和DC上的高相等，
∴

S2

S3

=

BE

DC

，即

S 2

3

=

2

，所以S2=3

2

；

（3）∵由（2）可知，S₂=3

2

，
∴（S₂）²=（3

2

）²=18，
S₁•S₃=6×3=18，
∴S₂²=S₁•S₃．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的是相似三角形的判定與性質(zhì)，解答此題的關(guān)鍵是熟知相似三角形面積的比等于相似比的平方這一結(jié)論．