Question

如圖，AB是⊙O的直徑，動弦CD垂直AB于點E，過點B作直線BF∥CD交AD的延長線于點F，若AB=10cm．

（1）求證：BF是⊙O的切線．

（2）若AD=8cm，求BE的長．

（3）若四邊形CBFD為平行四邊形，則四邊形ACBD為何種四邊形？并說明理由．

 

Answer 1

【答案】

解：（1）證明：∵CD⊥AB，BF∥CD，∴BF⊥AB。

又∵AB是⊙O的直徑，∴BF是⊙O的切線。 

（2）如圖1，連接BD。

∵AB是⊙O的直徑，

∴∠ADB=90°（直徑所對的圓周角是直角）。

又∵DE⊥AB，∴△ADE∽△ABD。

∴�！郃D²=AE•AB。

∵AD=8cm，AB=10cm，∴AE=6.4cm。∴BE=AB﹣AE=3.6cm。

（3）若四邊形CBFD為平行四邊形，則四邊形ACBD是正方形。理由如下：

連接BC。

∵四邊形CBFD為平行四邊形，

∴BC∥FD，即BC∥AD。

∴∠BCD=∠ADC（兩直線平行，內(nèi)錯角相等）。

∵∠BCD=∠BAD，∠CAB=∠CDB，（同弧所對的圓周角相等），

∴∠CAB+∠BAD=∠CDB+∠ADC，即∠CAD=∠BDA，

又∵∠BDA=90°（直徑所對的圓周角是直角），∴∠CAD=∠BDA=90°。

∴CD是⊙O的直徑，即點E與點O重合（或線段CD過圓心O）。

在△OBC和△ODA中，∵OC=OD，∠COB=∠DOA=90°，OB=OA，

∴△OBC≌△ODA（SAS）�！郆C=DA（全等三角形的對應(yīng)邊相等）。

∴四邊形ACBD是平行四邊形（對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形），

∵∠ACB=90°（直徑所對的圓周角是直角），AC=AD，∴四邊形ACBD是正方形。

【解析】（1）欲證明BF是⊙O的切線，只需證明AB⊥BF即可。

（2）連接BD，在直角三角形ABD中，利用△ADE∽△ABD【學(xué)過投影定理的直接應(yīng)用】可以求得AE的長度，最后結(jié)合圖形知BE=AB﹣AE。

 （3）連接BC，四邊形CBFD為平行四邊形，則四邊形ACBD是正方形。根據(jù)平行四邊形的對邊平行、平行線的性質(zhì)、圓周角定理以及同弧所對的圓周角相等可以推知∠CAD=∠BDA=90°，即CD是⊙O的直徑，然后由全等三角形的判定與性質(zhì)推知AC=BD，根據(jù)正方形的判定定理證得四邊形ACBD是正方形。