Question

已知：在矩形AOBC中，OB＝4，OA＝3，分別以O(shè)B、OA所在直線為x軸和y軸，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，F(xiàn)是邊BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與B、C重合），過F點(diǎn)的反比例函數(shù)（k＞0）的圖象與AC邊交于點(diǎn)E.

（1）求證：△AOE與△BOF的面積相等.

（2）記S＝S_△OEF－S_△ECF，求當(dāng)k為何值時(shí)，S有最大值，最大值為多少？

（3）請(qǐng)?zhí)剿鳎菏欠翊嬖谶@樣的點(diǎn)F，使得將△CEF沿EF對(duì)折后，C點(diǎn)恰好落在OB上？若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)F的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說明理由.

 

 

 

Answer 1

【答案】

（1）證明：設(shè)E（x₁，y₁）,F(x₂，y₂)，△AOE和△FOB的面積分別為S₁、S₂，

由題意得，

∴，　

∴S₁＝S₂　，即△AOE和△FOB的面積相等.

（2）由題意知：E、F兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為E（，3）、F（4，）

S_△ECF＝EC·CF＝（4－）（3－）

S_△EDF＝S_矩形AOBC－S_△AOE－S_△ECF＝12－k－k－S_△ECF

S＝S_△OEF－S_△ECF＝12－k－2 S_△ECF

＝12－k－2×（4－）（3－）

S＝k²+k，

當(dāng)k=6時(shí)，S有最大值3．

（3）存在符合條件的點(diǎn)F，它的坐標(biāo)為（4，）

【解析】（1）分別用點(diǎn)E，F(xiàn)的坐標(biāo)表示出△AOE與△FOB的面積，再用S₁＝S₂，進(jìn)行求解；

（2）應(yīng)分別用矩形面積和能用圖中的點(diǎn)表示出的三角形的面積表示出所求的面積，利用二次函數(shù)求出最值即可；

（3）由（2）點(diǎn)F的縱坐標(biāo)已求，利用折疊以及相似求得點(diǎn)F的橫坐標(biāo)即可得出答案．