Question

【題目】如圖，一次函數(shù)與反比例函數(shù)相交于、兩點(diǎn)，與軸，軸分別交于、兩點(diǎn)，已知，的面積為.

（1）求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的解析式；

（2）連接，，點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，直線向上平移個單位將的面積分成兩部分，求的值.

Answer 1

【答案】（1），；（2）.

【解析】

（1）根據(jù)一函數(shù)解析式求得OC的長，在Rt△OCD中，利用三角函數(shù)與勾股定理求得OD的長，即D點(diǎn)坐標(biāo)，然后代入一次函數(shù)解析式求得k的值，即可得到一次函數(shù)解析式，再根據(jù)△BOD的面積求得B點(diǎn)縱坐標(biāo)，代入一次函數(shù)得到B點(diǎn)坐標(biāo)，然后代入反比例函數(shù)即可得解；

（2）先聯(lián)立方程求得M點(diǎn)坐標(biāo)，再設(shè)向上平移個單位得到的直線l′為：y=﹣x+h，并設(shè)l′與線段AB交于點(diǎn)E，與線段OA交于點(diǎn)F.由題意可知：S△AEF：S△AOB=1:8，即S△AEF：S△AOM=1:4，得到E為AM中點(diǎn)，再將E點(diǎn)坐標(biāo)代入y=﹣x+h求得h的值即可.

解：（1）令x=0，則y=1，

∴直線與y軸的交點(diǎn)C（0,1），

∴OC=1，

在Rt△OCD中，

∵，

∴CD==，

∴OD==2，

∴D（﹣2,0），

把D（﹣2,0）代入函數(shù)，解得：k=，

∴一次函數(shù)的解析式為：，

又∵S△BOD=·OD·∣yB∣=1，

∴yB=﹣1，

把yB=﹣1代入一次函數(shù)得：xB=﹣4，

∴B（﹣4，﹣1），

把B（﹣4，﹣1）代入函數(shù)，解得：m=4，

∴反比例函數(shù)的解析式為：；

（2）聯(lián)立，

解得：或，

∴A（2,2），B（﹣4，﹣1），

∴M（﹣1，），

∴直線OM的解析式為：y=﹣x，

設(shè)向上平移個單位得到的直線l′為：y=﹣x+h，并設(shè)l′與線段AB交于點(diǎn)E，與線段OA交于點(diǎn)F.由題意可知：S△AEF：S△AOB=1:8，

∴S△AEF：S△AOM=1:4，

又∵l′與OM平行，

∴E是線段AM的中點(diǎn)，

∴E（，），

把E（，）代入y=﹣x+h得：=﹣×+h，

∴h=.