Question

如圖，等邊△ABC中，AO是∠BAC的角平分線，D為AO上一點(diǎn)，以CD為一邊且在CD下方作等邊△CDE，連接BE．
（1）求證：△ACD≌△BCE；
（2）延長(zhǎng)BE至Q，P為BQ上一點(diǎn)，連接CP、CQ使CP=CQ=5，若BC=8時(shí)，求PQ的長(zhǎng)．

Answer 1

分析：（1）由△ABC與△DCE是等邊三角形，可得AC=BC，DC=EC，∠ACB=∠DCE=60°，又由∠ACD+∠DCB=∠ECB+∠DCB=60°，即可證得∠ACD=∠BCE，所以根據(jù)SAS即可證得△ACD≌△BCE；
（2）首先過(guò)點(diǎn)C作CH⊥BQ于H，由等邊三角形的性質(zhì)，即可求得∠DAC=30°，則根據(jù)等腰三角形與直角三角形中的勾股定理即可求得PQ的長(zhǎng)．

解答：（1）證明：∵△ABC與△DCE是等邊三角形，
∴AC=BC，DC=EC，∠ACB=∠DCE=60°，
∴∠ACD+∠DCB=∠ECB+∠DCB=60°，
∴∠ACD=∠BCE，
∴△ACD≌△BCE（SAS）；

（2）解：過(guò)點(diǎn)C作CH⊥BQ于H，
∵△ABC是等邊三角形，AO是角平分線，
∴∠DAC=30°，
∵△ACD≌△BCE，
∴∠PBC=∠DAC=30°，
∴在Rt△BHC中，CH=

1

2

BC=

1

2

×8=4，
∵PC=CQ=5，CH=4，
∴PH=QH=3，
∴PQ=6．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形、等邊三角形以及直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)．此題綜合性較強(qiáng)，但難度不大，解題時(shí)要注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．