Question

如圖，Rt△ADE、Rt△BDF和正方形EDFC組成一個大直角三角形ABC，若AD=12cm，BD=10cm，那么圖中陰影部分的面積是

 

．

Answer 1

分析：設(shè)正方形的邊長為a，由ED∥BC，DF∥AC，得到ED：BC=AD：AB，DF：AC=DB：AB，可求得BC=

11

6

a，AC=

11

5

a，在Rt△ABC中，利用勾股定理可得到a²=

3600

61

，再利用三角形的面積公式得S_陰影部分=

1

2

•AE•DE+

1

2

•DF•BF，代入計(jì)算即可得到陰影部分的面積．

解答：解：設(shè)正方形的邊長為a，
∵正方形DECF內(nèi)接于Rt△ABC中，即ED∥BC，DF∥AC，
∴△AFD∽△ACB，△BDE∽△BAC，
∴FD：BC=AD：AB DE：AC=DB：AB，
而AD=12，BD=10，
∴BC=

11

6

a，AC=

11

5

a，
又∵AB²=BC²+AC²，
即22²=（

11

6

a）²+（

11

5

a）²，
解得a²=

3600

61

，
又∵S_陰影部分=

1

2

•AE•DE+

1

2

•DF•BF
=

1

2

×（

11a

6

-a）×a+

1

2

×（

11

5

a-a）×a
=

1

2

×（

5

6

a²+

6

5

a²）
=

1

2

×

61

30

×

3600

61

=60．
故答案為：60．

點(diǎn)評：此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)：平行于三角形一邊的直線與三角形其它兩邊相交，所截得的三角形與原三角形相似．也考查了正方形的性質(zhì)和勾股定理．