Question

將一矩形紙片OABC放在平面直角坐標(biāo)系中，O（0，0），A（6，0），C（0，3）．動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)O出發(fā)以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)的速度沿OC向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)

2

3

秒時(shí)，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)以相等的速度沿AO向終點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)．當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一點(diǎn)也停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（秒）．
（1）用含t的代數(shù)式表示OP，OQ；
（2）當(dāng)t=1時(shí)，如圖1，將沿△OPQ沿PQ翻折，點(diǎn)O恰好落在CB邊上的點(diǎn)D處，求點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（3）連接AC，將△OPQ沿PQ翻折，得到△EPQ，如圖2．問(wèn)：PQ與AC能否平行？PE與AC能否垂直？若能，求出相應(yīng)的t值；若不能，說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)的時(shí)間比點(diǎn)P多

2

3

秒，則運(yùn)動(dòng)的路程也多出了

2

3

．
（2）利用翻折得到的線段長(zhǎng)，再利用勾股定理可求得點(diǎn)D的橫坐標(biāo)，縱坐標(biāo)和點(diǎn)C的縱坐標(biāo)相等．
（3）當(dāng)平行的時(shí)候，所截得的線段對(duì)應(yīng)成比例，即可求得時(shí)間值．當(dāng)垂直的時(shí)候也要找到一組平行線，得到對(duì)應(yīng)線段成比例看是否在相應(yīng)的范圍內(nèi)．

解答：解：（1）OP=6-t，OQ=t+

2

3

．


（2）當(dāng)t=1時(shí)，過(guò)D點(diǎn)作DD₁⊥OA，交OA于D₁，如圖1，
則DQ=QO=

5

3

，QC=

4

3

，
∴CD=1，
∴D（1，3）．

（3）①PQ能與AC平行．
若PQ∥AC，如圖2，則

OP

OQ

=

OA

OC

，
即

6-t

t+ 2 3

=

6

3

，
∴t=

14

9

，而0≤t≤

7

3

，
∴t=

14

9

．
②PE不能與AC垂直．
若PE⊥AC，延長(zhǎng)QE交OA于F，如圖3，
則

QF

AC

=

OQ

OC

，

QF

3 5

=

t+ 2 3

3

，
∴QF=

5

(t+

2

3

)．
∴EF=QF-QE=QF-OQ=

5

(t+

2

3

)-(t+

2

3

)=(

5

-1)t+

2

3

(

5

-1)=（

5

-1）（t+

2

3

），
又∵Rt△EPF∽R(shí)t△OCA，
∴

PE

EF

=

OC

OA

，
∴

6-t

( 5 -1)(t+ 2 3 )

=

3

6

，
∴t≈3.45，而0≤t≤

7

3

，
∴t不存在．

點(diǎn)評(píng)：注意使用翻折得到的對(duì)應(yīng)線段相等；當(dāng)兩條直線平行的時(shí)候，所截得的對(duì)應(yīng)線段是成比例的．