Question

如圖，直線與線段相交于點(diǎn)，點(diǎn)和點(diǎn)在直線上，且.

（1）如圖1所示，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí) ，且，請(qǐng)寫出與的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系；
（2）將圖1中的繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到如圖2所示的位置，，（1）中的與的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系是否仍然成立？若成立，請(qǐng)證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（3）將圖2中的拉長(zhǎng)為的倍得到如圖3，求的值．

Answer 1

（1）；（3）

試題分析：（1）根據(jù)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)的圖形特征即可作出判斷；
（2）過(guò)點(diǎn)作于，過(guò)點(diǎn)作于，證得≌，即得 ，由可得，即得，延長(zhǎng)與的延長(zhǎng)線相交點(diǎn)，即得，再結(jié)合即可作出判斷；
（3）過(guò)點(diǎn)作于,過(guò)點(diǎn)作于，易證∽，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得，由（2）知，即可求得結(jié)果．

（1）；
（2）仍然成立.
過(guò)點(diǎn)作于，過(guò)點(diǎn)作于
∴
∵，
∴≌
∴ 
∵
∴
∴ 
延長(zhǎng)與的延長(zhǎng)線相交點(diǎn)
∴
又∵
∴
∴；
（3）過(guò)點(diǎn)作于,過(guò)點(diǎn)作于
易證∽
∴
∵，
∴．
由（2）知．
 ．
點(diǎn)評(píng)：此類問(wèn)題是初中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)和難點(diǎn)，在中考中極為常見(jiàn)，一般以壓軸題形式出現(xiàn)，難度較大.