Question

【題目】如圖，直線y=﹣2x+4與坐標(biāo)軸分別交于C、B兩點(diǎn)，過點(diǎn)C作CD⊥x軸，點(diǎn)P是x軸下方直線CD上的一點(diǎn)，且△OCP與△OBC相似，求過點(diǎn)P的雙曲線解析式．

Answer 1

【答案】解：∵直線y=﹣2x+4與坐標(biāo)軸分別交于C、B兩點(diǎn)，
∴令y=0，可得﹣2x+4=0，解得x=2，即C（2，0），OC=2，
令x=0，可得y=4，即B（0，4），OB=4，
①如圖1，當(dāng)∠OBC=∠COP時(shí)，△OCP∽△BOC，

∴=，即=，解得CP=1，
∴P（2，﹣1），
設(shè)過點(diǎn)P的雙曲線解析式y(tǒng)=，把P點(diǎn)代入解得k=﹣2，
∴過點(diǎn)P的雙曲線解析式y(tǒng)=﹣，
②如圖2，當(dāng)∠OBC=∠CPO時(shí)，△OCP∽△COB，

在△OCP和△COB中，

∴△OCP≌△COB（AAS）
∴CP=BO=4，
∴P（2，﹣4）
設(shè)過點(diǎn)P的雙曲線解析式y(tǒng)=，把P點(diǎn)代入得﹣4=，解得k=﹣8，
∴過點(diǎn)P的雙曲線解析式y(tǒng)=．
綜上可得，過點(diǎn)P的雙曲線的解析式為y=﹣或y=．
【解析】由直線y=﹣2x+4與坐標(biāo)軸分別交于C、B兩點(diǎn)，易得OC=2，OB=4，再分兩種情況①當(dāng)∠OBC=∠COP時(shí)，△OCP與△OBC相似，②當(dāng)∠OBC=∠CPO時(shí)，△OCP與△OBC相似分別求出點(diǎn)的坐標(biāo)，再求出過點(diǎn)P的雙曲線解析式．
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解相似三角形的判定與性質(zhì)的相關(guān)知識，掌握相似三角形的一切對應(yīng)線段(對應(yīng)高、對應(yīng)中線、對應(yīng)角平分線、外接圓半徑、內(nèi)切圓半徑等）的比等于相似比；相似三角形周長的比等于相似比；相似三角形面積的比等于相似比的平方．