Question

在直角坐標(biāo)系xoy中，函數(shù)y=4x的圖象與反比例函數(shù)y=

k

x

（k＞0）的圖象有兩個公共點(diǎn)A、B（如圖），其中點(diǎn)A的縱坐標(biāo)為4過點(diǎn)A作x軸的垂線，再過點(diǎn)B作y軸的垂線，兩垂線相交于點(diǎn)C．
（1）求點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（2）求△ABC的面積．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)函數(shù)的圖象的特點(diǎn)可知點(diǎn)A、點(diǎn)B關(guān)于原點(diǎn)對稱，先求出點(diǎn)B的坐標(biāo)為（-1，4）；根據(jù)題意可知：點(diǎn)C的橫坐標(biāo)與點(diǎn)A的橫坐標(biāo)相等；點(diǎn)C的縱坐標(biāo)與點(diǎn)B的縱坐標(biāo)相等，所以可得點(diǎn)C的坐標(biāo)為（1，-4）．
（2）根據(jù)兩點(diǎn)距離公式求出三角形的邊長，直接利用直角三角形的面積求法計算即可．

解答：解：（1）因點(diǎn)A的縱坐標(biāo)為4，故可設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為（a，4）．
由點(diǎn)A在函數(shù)y=4x的圖象上，得4=4a，
解得a=1，
于是得點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，4）．
依據(jù)反比例函數(shù)、正比例函數(shù)的對稱性，知點(diǎn)A、點(diǎn)B關(guān)于原點(diǎn)對稱，
故可知點(diǎn)B的坐標(biāo)為（-1，-4），
又BC與x軸平行，AC與y軸平行，且點(diǎn)C在第四象限，
所以點(diǎn)C的橫坐標(biāo)與點(diǎn)A的橫坐標(biāo)相等；
點(diǎn)C的縱坐標(biāo)與點(diǎn)B的縱坐標(biāo)相等，得點(diǎn)C的坐標(biāo)為（1，-4）．

（2）在Rt△ABC中，∠C=90，BC=-|-1-1|=2，AC=|4-（-4）|=8，
所以S_△ABC=

1

2

BC•AC=

1

2

×2×8=8．
答：△ABC的面積為8．

點(diǎn)評：主要考查了反比例函數(shù)y=

k

x

中k的幾何意義，即過雙曲線上任意一點(diǎn)引x軸、y軸垂線，所得矩形面積為|k|，是經(jīng)�？疾榈囊粋�知識點(diǎn)；這里體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想，做此類題一定要正確理解k的幾何意義．圖象上的點(diǎn)與原點(diǎn)所連的線段、坐標(biāo)軸、向坐標(biāo)軸作垂線所圍成的直角三角形面積S的關(guān)系即S=

1

2

|k|．