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        1. 【題目】已知矩形ABCD的一條邊AD=8,EBC邊上的一點(diǎn),將矩形ABCD沿折痕AE折疊,使得頂點(diǎn)B落在CD邊上的點(diǎn)P處,PC=4(如圖1).

          1)求AB的長;

          2)擦去折痕AE,連結(jié)PB,設(shè)M是線段PA的一個動點(diǎn)(點(diǎn)M與點(diǎn)PA不重合).NAB沿長線上的一個動點(diǎn),并且滿足PM=BN.過點(diǎn)MMH⊥PB,垂足為H,連結(jié)MNPB于點(diǎn)F(如圖2).

          MPA的中點(diǎn),求MH的長;

          試問當(dāng)點(diǎn)MN在移動過程中,線段FH的長度是否發(fā)生變化?若變化,說明理由;若不變,求出線段FH的長度.

          【答案】(1)10;(2; .

          【解析】試題分析:(1)設(shè)AB=x,根據(jù)折疊可得AP=CD=x,DP=CD-CP=x-4,利用勾股定理,在Rt△ADP中,AD2+DP2=AP2,即82+x-42=x2,即可解答;

          2過點(diǎn)AAGPB于點(diǎn)G,根據(jù)勾股定理求出PB的長,由AP=AB,所以PG=BG=PB=,在RtAGP中,AG=,

          AGPB,MHPB,所以MHAG,根據(jù)MPA的中點(diǎn),所以HPG的中點(diǎn),根據(jù)中位線的性質(zhì)得到MH=AG=

          MQAN,交PB于點(diǎn)Q,求出MP=MQ,BN=QM,得出MP=MQ,根據(jù)MHPQ,得出HQ=PQ,根據(jù)QMF=BNF,證出MFQ≌△NFB,得出QF=QB,再求出EF=PB,最后代入HF=PB即可得出線段EF的長度不變.

          試題解析:(1)設(shè)AB=x,則AP=CD=x,DP=CD-CP=x-4,

          Rt△ADP中,AD2+DP2=AP2,

          82+x-42=x2,

          解得:x=10,

          AB=10

          2如圖2,過點(diǎn)AAG⊥PB于點(diǎn)G,

          由(1)中的結(jié)論可得:PC=4BC=8,∠C=90°,

          PB=,

          ∵AP=AB

          PG=BG=PB=,

          RtAGP中,AG=,

          ∵AG⊥PB,MH⊥PB,

          ∴MH∥AG

          ∵M(jìn)PA的中點(diǎn),

          ∴HPG的中點(diǎn),

          MH=AG=

          當(dāng)點(diǎn)MN在移動過程中,線段FH的長度是不發(fā)生變化;

          MQ∥AN,交PB于點(diǎn)Q,如圖3

          ∵AP=AB,MQ∥AN,

          ∴∠APB=∠ABP=∠MQP

          ∴MP=MQ,

          ∵BN=PM

          ∴BN=QM

          ∵M(jìn)P=MQ,MH⊥PQ,

          EQ=PQ

          ∵M(jìn)Q∥AN,

          ∴∠QMF=∠BNF,

          △MFQ△NFB中,

          ∴△MFQ≌△NFBAAS).

          QF=QB,

          HF=HQ+QF=PQ+QB=PB=

          當(dāng)點(diǎn)M、N在移動過程中,線段FH的長度是不發(fā)生變化,長度為

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