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        1. 【題目】如圖,△ABC是等邊三角形,AB=4cm,CD⊥AB于點D,動點P從點A出發(fā),沿AC以2cm/s的速度向終點C運動,當點P出發(fā)后,過點P作PQ∥BC交折線AD﹣DC于點Q,以PQ為邊作等邊三角形PQR,設四邊形APRQ與△ACD重疊部分圖形的面積為S(cm2),點P運動的時間為t(s).

          (1)當點Q在線段AD上時,用含t的代數(shù)式表示QR的長;
          (2)求點R運動的路程長;
          (3)當點Q在線段AD上時,求S與t之間的函數(shù)關系式;
          (4)直接寫出以點B,Q,R為頂點的三角形是直角三角形時t的值.

          【答案】
          (1)

          解:如圖①,

          ∵△ABC是等邊三角形,

          ∴∠ACB=∠B=60°.

          ∵PQ∥BC,

          ∴∠APQ=∠ACB=60°,∠AQP=∠B=60°,

          ∴△APQ是等邊三角形.

          ∴PQ=AP=2t.

          ∵△PQR是等邊三角形,

          ∴QR=PQ=2t


          (2)

          解:過點A作AG⊥BC于點G,如圖②,

          則點R運動的路程長是AG+CG.

          在Rt△AGC中,∠AGC=90°,sin60°= = ,cos60°= = ,AC=4,

          ∴AG=2 ,CG=2.

          ∴點R運動的路程長2 +2


          (3)

          解:①當0<t≤ 時,如圖③,

          S=S菱形APRQ=2×SAPQ=2× ×(2t)2=2 t2;

          ②當 <t≤1時,如圖④

          PE=PCsin∠PCE=(4﹣2t)× =2﹣t,

          ∴ER=PR﹣PE=2t﹣(2﹣t)=3t﹣2,

          ∴EF=ERtanR= (3t﹣2)

          ∴S=S菱形APRQ﹣SREF

          =2 t2 (3t﹣2)2=﹣ t2+6 t﹣2


          (4)

          解:t= 或t=

          提示:①當∠QRB=90°時,如圖⑤,

          cos∠RQB= =

          ∴QB=2QR=2QA,

          ∴AB=3QA=6t=4,

          ∴t= ;

          ②當∠RQB=90°時,如圖⑥,

          同理可得BC=3RC=3PC=3(4﹣2t)=4,

          ∴t=


          【解析】(1)易證△APQ是等邊三角形,即可得到QR=PQ=AP=2t;(2)過點A作AG⊥BC于點G,如圖②,易得點R運動的路程長是AG+CG,只需求出AG、CG就可解決問題;(3)四邊形APRQ與△ACD重疊部分圖形可能是菱形,也可能是五邊形,故需分情況討論,然后運用割補法就可解決問題;(4)由于直角頂點不確定,故需分情況討論,只需分∠QRB=90°和∠RQB=90°兩種情況討論,即可解決問題.

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          銷售單價元/公斤

          ...

          30

          35

          40

          45

          ...

          銷售量公斤

          ...

          500

          450

          400

          350

          ...

          (1)直接寫出y與x的函數(shù)關系式;

          (2)若張小花一周的銷售利潤為W元,請求出W與的函數(shù)關系式,并確定當銷售單價在什么范圍內(nèi)變化時,一周的銷售利潤隨著銷售單價的增大而增大?

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