Question

【題目】如圖，⊙O上有一個(gè)動(dòng)點(diǎn)A和一個(gè)定點(diǎn)B，令線段AB的中點(diǎn)是點(diǎn)P，過點(diǎn)B作⊙O的切線BQ，且BQ=3，現(xiàn)測得的長度是，的度數(shù)是120°，若線段PQ的最大值是m，最小值是n，則mn的值是（　　）

A. 3 B. 2 C. 9 D. 10

Answer 1

【答案】C

【解析】

連接OP，OB，O′點(diǎn)為OB的中點(diǎn)，如圖，先利用弧長公式計(jì)算出⊙O的半徑為2，再利用垂徑定理得到OP⊥AB，則∠OPB=90°，于是利用圓周角定理得到點(diǎn)P在以OB為直徑的圓上，直線QO′交⊙O′于E、F，如圖，根據(jù)切線的性質(zhì)得到OB⊥PQ，則利用勾股定理可計(jì)算出O′Q=，利用點(diǎn)與圓的位置關(guān)系得到m=+1，n=-1，然后計(jì)算mn即可．

連接OP，OB，O′點(diǎn)為OB的中點(diǎn)，如圖，

設(shè)⊙O的半徑為r，

根據(jù)題意得π，解得r=2，

∵P點(diǎn)為AB的中點(diǎn)，

∴OP⊥AB，

∴∠OPB=90°，

∴點(diǎn)P在以OB為直徑的圓上，

直線QO′交⊙O′于E、F，如圖，

∴BQ為切線，

∴OB⊥PQ，

在Rt△O′BQ中，O′Q==，

∴QE=+1，QF=-1，

即m=+1，n=-1，

∴mn=（+1）（-1）=10-1=9．

故選C．