Question

已知：將一副三角板（Rt△ABC和Rt△DEF）如圖①擺放，點E、A、D、B在一條直線上，且D是AB的中點．將Rt△DEF繞點D順時針方向旋轉(zhuǎn)角α（0°＜α＜90°），在旋轉(zhuǎn)過程中，直線DE、AC相交于點M，直線DF、BC相交于點N，分別過點M、N作直線AB的垂線，垂足為G、H．
（1）當α=30°時（如圖②），求證：AG=DH；
（2）當0°＜α＜90°時，（1）中的結(jié)論是否成立？請根據(jù)圖③說明理由．
（3）在Rt△DEF繞點D順時針方向旋轉(zhuǎn)過程中，DM與DN的比值是否發(fā)生改變？如果不改變，請直接寫出比值；如果改變，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）由題意可證得：∠A=∠ADM=30°，∠BDC=∠B=60°，然后根據(jù)等角對等邊的性質(zhì)，可得MA=MD，CB=CD，又由三線合一，即可證得答案；
（2）首先證得△AGM∽△NHB與Rt△MGD∽Rt△DHN，根據(jù)相似三角形的對應邊成比例，易得

AG

NH

=

MG

BH

①與

DH

MG

=

NH

DG

②，然后利用比例的性質(zhì)，即可證得AG=DH；
（3）由Rt△MGD∽Rt△DHN與AG=DH，易得

DM

DN

=

MG

AG

=tan∠A，繼而求得答案．

解答：（1）證明：由題意可得：∠A=∠ADM=30°，
∴MA=MD，
又∵MG⊥AD于點G，
∴AG=DG，
∵∠BDC=180°-∠ADE-∠EDF=180°-30°-90°=60°=∠B，
∴CB=CD，
∴C與N重疊，
又∵NH⊥DB于點H，
∴DH=BH，
∵AD=DB，
∴AG=DH；

（2）解：當0°＜α＜90°時，（1）中的結(jié)論成立．
如圖③，在Rt△AMG中，∠A=30°，
∴∠AMG=60°=∠B，
又∵∠AGM=∠NHB=90°，
∴△AGM∽△NHB，
∴

AG

NH

=

MG

BH

，…①
∵∠MDG=α，
∴∠DMG=90°-α=∠NDH，
又∵∠MGD=∠DHN=90°，
∴Rt△MGD∽Rt△DHN，
∴

DH

MG

=

NH

DG

，…②
①×②，得  

DG

AG

=

BH

DH

，
由比例的性質(zhì)，得 

DG+AG

AG

=

BH+DH

DH

，
即 

AD

AG

=

BD

DH

，
∵AD=DB，
∴AG=DH；

（3）在Rt△DEF繞點D順時針方向旋轉(zhuǎn)過程中，

DM

DN

值沒有改變，
∵Rt△MGD∽Rt△DHN，
∴

DM

DN

=

MG

DH

，
∵AG=DH，
∴

DM

DN

=

MG

AG

=tan∠A=tan30°=

3

3

，
∴

DM

DN

=

3

3

．

點評：此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、三角函數(shù)的性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)等知識．此題綜合性較強，難度較大，解題的關(guān)鍵是掌握數(shù)形結(jié)合思想與轉(zhuǎn)化思想的應用．