Question

已知：⊙O是△ABC的外接圓，點(diǎn)M為⊙O上一點(diǎn)．
（1）如圖，若△ABC為等邊三角形，BM=1，CM=2，求AM的長(zhǎng)；
（2）若△ABC為等腰直角三角形，∠BAC=90°，BM=a，CM=b（其中b＞a），直接寫(xiě)出AM的長(zhǎng)（用含有a，b的代數(shù)式表示）．

Answer 1

分析：（1）延長(zhǎng)MB至點(diǎn)E，使BE=MC，連AE，根據(jù)等邊三角形性質(zhì)求出AC=AB，根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)推出∠ABE=∠ACM，證△ABE≌△ACM，推出AM=AE，證等邊三角形AEM，推出AE=AM=ME，即可推出答案；
（2）分為兩種情況，畫(huà)出圖形，延長(zhǎng)MB至點(diǎn)E，使BE=MC，連AE，根據(jù)等腰直角三角形性質(zhì)推出AB=AC，根據(jù)SAS證△ABE≌△ACM，推出AM=AE，∠E=∠AMC=45°，∠AMB=45°，求出△EAM是等腰直角三角形，根據(jù)勾股定理求出即可．

解答：（1）解：延長(zhǎng)MB至點(diǎn)E，使BE=MC，連接AE，
∵△ABC是等邊三角形，
∴AB=AC，
∵四邊形ABMC是⊙O的內(nèi)接四邊形，
∴∠ABE=∠ACM，
在△AEB和△AMC中

AB=AC ∠ABE=∠ACM BE=CM

，
∴△AEB≌△AMC，
∴∠AEB=∠AMC，
∵∠AMC=∠ABC（在同圓中，同弧所對(duì)的圓周角相等），
∴∠AEB=∠ABC，
∵∠AME=∠ACB（在同圓中，同弧所對(duì)的圓周角相等），
又∵∠ABC=∠ACB=60°，
∴∠AEB=∠AME=60°，
∴△AEM是等邊三角形，
∴AM=ME=MB+BE，
∵BE=MC，
∴MB+MC=MA=1+2=3．
即AM的長(zhǎng)是3．

（2）解：分為兩種情況：①如圖，AM=

a+b

2

=

2

2

（a+b），
理由是：延長(zhǎng)MB至點(diǎn)E，使BE=MC，連AE，
由（1）知：∠ABE=∠ACM，
在△ABE和△ACM中

AB=AC ∠ABE=∠ACM BE=CM

，
∴△ABE≌△ACM，
∴AM=AE，∠E=∠AMC，
∵∠AMC=∠ABC=45°，∠AMB=∠ACB=45°，
∴∠E=∠AMB=45°，
∴∠EAM=90°，
在△EAM中，ME=MB+BE=MB+CM=a+b，AE=AM，
由勾股定理得：AM=

EM

2

=

2

2

（a+b），
即AM=

a+b

2

=

2

2

（a+b）．
②如圖，
在CM上截取CN=BM，連接AN，
∵∠ABM所對(duì)的弧和∠ACN所對(duì)的弧都是弧AM，
∴∠ABM=∠ACN，
在△ABM和△ACN中

AB=AC ∠ABM=∠ACN BM=CN

，
∴△ABM≌△ACN（SAS），
∴AM=AN，∠BAM=∠CAN，
∵∠BAC=∠BAN+∠CAN=90°，
∴∠BAN+∠BAM=90°，
∴∠MAN=90°，
則△MAN是等腰直角三角形，
∵M(jìn)N=CM-CN=CM-BM=b-a，
由勾股定理得：AM=AN=

b-a

2

=

2

2

（b-a），
即AM=

2

2

（b-a）．
即AM的長(zhǎng)是

2

2

（a+b）或

2

2

（b-a）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了等腰直角三角形，勾股定理，全等三角形的性質(zhì)和判定，等邊三角形性質(zhì)，圓周角定理，圓內(nèi)接四邊形性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)的運(yùn)用，關(guān)鍵是正確作輔助線推出AM=BM+CM，兩小題證明過(guò)程類(lèi)似，都是通過(guò)作輔助線把AM、BM、CM放在一個(gè)三角形中，求出三者之間的關(guān)系，題目比較好，有一點(diǎn)難度．