Question

某公司投資700萬元購甲、乙兩種產(chǎn)品的生產(chǎn)技術(shù)和設(shè)備后，進行這兩種產(chǎn)品加工．已知生產(chǎn)甲種產(chǎn)品每件還需成本費30元，生產(chǎn)乙種產(chǎn)品每件還需成本費20元．經(jīng)市場調(diào)研發(fā)現(xiàn)：甲種產(chǎn)品的銷售單價為x（元），年銷售量為y（萬件），當35≤x＜50時，y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為y=20﹣0.2x；當50≤x≤70時，y與x的函數(shù)關(guān)系式如圖所示，乙種產(chǎn)品的銷售單價，在25元（含）到45元（含）之間，且年銷售量穩(wěn)定在10萬件．物價部門規(guī)定這兩種產(chǎn)品的銷售單價之和為90元．

（1）當50≤x≤70時，求出甲種產(chǎn)品的年銷售量y（萬元）與x（元）之間的函數(shù)關(guān)系式．

（2）若公司第一年的年銷售量利潤（年銷售利潤=年銷售收入﹣生產(chǎn)成本）為W（萬元），那么怎樣定價，可使第一年的年銷售利潤最大？最大年銷售利潤是多少？

（3）第二年公司可重新對產(chǎn)品進行定價，在（2）的條件下，并要求甲種產(chǎn)品的銷售單價x（元）在50≤x≤70范圍內(nèi)，該公司希望到第二年年底，兩年的總盈利（總盈利=兩年的年銷售利潤之和﹣投資成本）不低于85萬元．請直接寫出第二年乙種產(chǎn)品的銷售單價m（元）的范圍．

Answer 1

（1）（50≤x≤70）。

（2）甲、乙兩種產(chǎn)品定價均為45元時，第一年的年銷售利潤最大，最大年銷售利潤是415萬元。

（3）30≤m≤40。

【解析】

分析：（1）設(shè)y與x的函數(shù)關(guān)系式為y=kx+b（k≠0），然后把點（50，10），（70，8）代入求出k、b的值即可得解。

（2）先根據(jù)兩種產(chǎn)品的銷售單價之和為90元，根據(jù)乙種產(chǎn)品的定價范圍列出不等式組求出x的取值范圍是45≤x≤65，然后分45≤＜50，50≤x≤70兩種情況，根據(jù)銷售利潤等于兩種產(chǎn)品的利潤之和列出W與x的函數(shù)關(guān)系式，再利用二次函數(shù)的增減性確定出最大值，從而得解。

（3）用第一年的最大利潤加上第二年的利潤，然后根據(jù)總盈利不低于85萬元列出不等式，整理后求解即可：

根據(jù)題意得，，

由W=85，則，解得x₁=20，x₂=60．

又由題意知，50≤x≤70，根據(jù)函數(shù)性質(zhì)分析，50≤x≤60，即50≤90－m≤60，∴30≤m≤40。　

解：（1）設(shè)y與x的函數(shù)關(guān)系式為y=kx+b（k≠0），

∵函數(shù)圖象經(jīng)過點（50，10），（70，8），

∴，解得。

∴甲種產(chǎn)品的年銷售量y（萬元）與x（元）之間的函數(shù)關(guān)系式為（50≤x≤70）。

  （2）∵乙種產(chǎn)品的銷售單價在25元（含）到45元（含）之間，

∴，之得45≤x≤65。

①當45≤x＜50時，

，

∵﹣0.2＜0，∴x＞40時，W隨x的增大而減小。

∴當x=45時，W有最大值，（萬元）。

②50≤x≤70時，

，

∵﹣0.1＜0，∴x＞40時，W隨x的增大而減小。

當x=50時，W有最大值，（萬元）。

綜上所述，當x=45，即甲、乙兩種產(chǎn)品定價均為45元時，第一年的年銷售利潤最大，最大年銷售利潤是415萬元。

          （3）30≤m≤40。