Question

已知：如圖，把矩形OCBA放置于直角坐標(biāo)系中，OC=3，BC=2，取AB的中點(diǎn)M，連接MC，把△MBC沿x軸的負(fù)方向平移OC的長(zhǎng)度后得到△DAO．
（1）試直接寫出點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（2）已知點(diǎn)B與點(diǎn)D在經(jīng)過(guò)原點(diǎn)的拋物線上，點(diǎn)P在第一象限內(nèi)的該拋物線上移動(dòng)，過(guò)點(diǎn)P作PQ⊥x軸于點(diǎn)Q，連接OP．
①若以O(shè)、P、Q為頂點(diǎn)的三角形與△DAO相似，試求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；
②試問(wèn)在拋物線的對(duì)稱軸上是否存在一點(diǎn)T，使得|TO-TB|的值最大？

Answer 1

【答案】分析：（1）由于M是AB的中點(diǎn)，即可得到AM=，由此可求出M點(diǎn)的坐標(biāo)，將M點(diǎn)坐標(biāo)向左平移3個(gè)單位即可得到點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（2）①根據(jù)B、D的坐標(biāo)即可確定拋物線的解析式，設(shè)出P點(diǎn)的橫坐標(biāo)，根據(jù)拋物線的解析式可得到P點(diǎn)縱坐標(biāo)的表達(dá)式；由于∠PQO=∠DAO=90°，若以O(shè)、P、Q為頂點(diǎn)的三角形與△DAO相似，則有兩種情況：1）、△PQO∽△DOA，2）、△OQP∽△DAO；根據(jù)上述兩種情況所得的不同比例線段，即可求出P點(diǎn)的坐標(biāo)；
②由于D、B關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸對(duì)稱，若|TO-TB|的值最大，那么T點(diǎn)必為直線DO與拋物線對(duì)稱軸的交點(diǎn)，根據(jù)拋物線的解析式可求出其對(duì)稱軸方程，根據(jù)D點(diǎn)的坐標(biāo)可求得直線DO的解析式，聯(lián)立兩個(gè)函數(shù)的解析式，即可求得T點(diǎn)的坐標(biāo)．
解答：解：（1）依題意得：D（-，2）；（3分）

（2）①∵OC=3，BC=2，
∴B（3，2）；
∵拋物線經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，
∴設(shè)拋物線的解析式為y=ax²+bx （a≠0）
又拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)B（3，2）與點(diǎn)D（-，2）；
∴
解得：
∴拋物線的解析式為y=；（5分）
∵點(diǎn)P在拋物線上，
∴設(shè)點(diǎn)P（x，）；
1）、若△PQO∽△DAO，則，，
解得：x₁=0（舍去）或x₂=，
∴點(diǎn)P（）；（7分）
2）、若△OQP∽△DAO，則，，
解得：x₁=0（舍去）或x₂=，
∴點(diǎn)P（，6）；（9分）
②存在點(diǎn)T，使得|TO-TB|的值最大．
拋物線y=的對(duì)稱軸為直線x=，設(shè)拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為E，則點(diǎn)E（，0）；（10分）
∵點(diǎn)O、點(diǎn)E關(guān)于直線x=對(duì)稱，
∴TO=TE（11分）
要使得|TO-TB|的值最大，
即是使得|TE-TB|的值最大，
根據(jù)三角形兩邊之差小于第三邊可知，當(dāng)T、E、B三點(diǎn)在同一直線上時(shí)，|TE-TB|的值最大；（12分）
設(shè)過(guò)B、E兩點(diǎn)的直線解析式為y=kx+b（k≠0），
∴
解得：
∴直線BE的解析式為y=x-2；
當(dāng)x=時(shí)，y=
∴存在一點(diǎn)T（，-1）使得|TO-TB|最大．（13分）
點(diǎn)評(píng)：此題考查了矩形的性質(zhì)，圖象的平移變換，二次函數(shù)解析式的確定，相似三角形的判定和性質(zhì)以及軸對(duì)稱性質(zhì)的應(yīng)用，同時(shí)還考查了分類討論的數(shù)學(xué)思想，能力要求較強(qiáng)，難度較大．