Question

已知：如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)B₁、點(diǎn)C₁的坐標(biāo)分別為（1，0），(1，

3

)，將△OB₁C₁繞原點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，再將其各邊都擴(kuò)大為原來(lái)的m倍，使OB₂=OC₁，得到△OB₂C₂．將△OB₂C₂繞原點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，再將其各邊都擴(kuò)大為原來(lái)的m倍，使OB₃=OC₂，得到△OB₃C₃，如此下去，得到△OB_nC_n．
（1）m的值是

 

；
（2）△OB₂₀₁₁C₂₀₁₁中，點(diǎn)C₂₀₁₁的坐標(biāo)：

 

．

Answer 1

分析：（1）易得OB₂=mOB₁=OC₁，根據(jù)最初的三角形中OB₁，OC₁的關(guān)系可得m的值；
（2）可得旋轉(zhuǎn)6次后，正好旋轉(zhuǎn)一周，那么可得點(diǎn)C₂₀₁₁的坐標(biāo)跟C₁的坐標(biāo)在一條射線上，其橫縱坐標(biāo)均為原來(lái)的2010倍．

解答：解：（1）在△OB₁C₁中，
∵OB₁=1，B₁C₁=

3

，
∴tan∠C₁OB₁=

3

，
∴∠C₁OB₁=60°，OC₁=2，
∵OB₂=mOB₁，OB₂=OC₁，
∴m=2，
故答案為2；

（2）∵每一次的旋轉(zhuǎn)角是60°，
∴旋轉(zhuǎn)6次后C在x軸正半軸上，
∴2011÷6=335…1，
∴點(diǎn)C₂₀₁₁的坐標(biāo)跟C₁的坐標(biāo)在一條射線上，
∵第2次旋轉(zhuǎn)后，各邊長(zhǎng)是原來(lái)的2倍，第3次旋轉(zhuǎn)后，各邊長(zhǎng)是原來(lái)的2²倍，
∴點(diǎn)C₂₀₁₁的橫縱坐標(biāo)均為原來(lái)的2010倍．
故答案為（2²⁰¹⁰，2²⁰¹⁰

3

）．

點(diǎn)評(píng)：考查規(guī)律旋轉(zhuǎn)后點(diǎn)的坐標(biāo)；得到所求點(diǎn)的位置是解決本題的突破點(diǎn)；得到坐標(biāo)的規(guī)律是解決本題的難點(diǎn)．