Question

如圖①，梯形ABCD中，DC∥AB，DE⊥AB于點E．
閱讀理解：
在圖①中，延長梯形ABCD的兩腰AD、BC交于點P，過點D作DF∥CB交AB于點F，得到圖②；四邊形BCDF的面積為S，△ADF的面積S₁，△PDC的面積S₂．

解決問題：
（1）在圖②中，若DC=2，AB=8，DE=3，則S=

 

，S₁=

 

，S₂=

 

；
（2）在圖②中，若AB=a，DC=b，DE=h，則

S2

S1S2

=

 

，并寫出理由；
拓展應(yīng)用：
如圖③，?DEFC的四個頂點在△PAB的三邊上，若△PDC、△ADE、△CFB的面積分別為2、3、5，試利用 （2 ）中的結(jié)論求△PAB的面積．

Answer 1

分析：（1）先判定四邊形BCDF是平行四邊形，然后利用平行四邊形的面積公式即可求出S，根據(jù)平行四邊形對邊相等先求出BF的長度，從而可以求出AF的長度，然后再利用三角形的面積公式即可求出S₁，先利用相似三角形對應(yīng)高的比等于對應(yīng)邊的比求出△PDC的DC邊上的高，然后再利用三角形的面積公式求解即可；
（2）把（1）中的數(shù)字換成字母，可以先求出S與S₁，然后根據(jù)相似三角形對應(yīng)高的比等于對應(yīng)邊的比求出△PDC的DC邊上的高，再利用三角形的面積公式表示出S₂，最后代入代數(shù)式進行計算即可；
拓展應(yīng)用：把圖③的△ADE與△BCF的面積合并成S₁，然后再代入（2）中的結(jié)論計算即可．

解答：解：（1）∵DC∥AB，DF∥BC，
∴四邊形BCDF是平行四邊形，
∴BF=DC=2，
∴S=DC•DE=2×3=6，
S₁=

1

2

AF•DE=

1

2

（AB-BF）•DE=

1

2

×（8-2）×3=9，
設(shè)△PDC的DC邊上的高為x，
∵DC∥AB，
∴△PDC∽△PAB，
∴

x

x+DE

=

DC

AB

=

2

8

，
解得x=

DE

3

=1，
∴S₂=

1

2

×DC×x=

1

2

×2×1=1；

（2）根據(jù)（1）得：S=bh，S₁=

1

2

（a-b）h，
設(shè)△PDC的DC邊上的高為x，
∵DC∥AB，
∴△PDC∽△PAB，
∴

x

x+DE

=

DC

AB

，
即

x

x+h

=

b

a

，
解得x=

bh

a-b

，
∴S₂=

1

2

DC•x=

1

2

•b•

bh

a-b

=

b2h

2(a-b)

，
∴

S2

S1S2

=

(bh)2

1 2 (a-b)h• b2h 2(a-b)

=4；

拓展應(yīng)用：根據(jù)題意，△ADE與△BCF的面積合并成S₁即可符合公式，
∴S₁=3+5=8，S₂=2，
∵

S2

S1S2

=4，
∴S²=4×2×8=64，
解得S=8，
∴△PAB的面積=2+3+5+8=18．
故答案為：（1）6，9，1；（2）4．

點評：本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，平行四邊形的判定與性質(zhì)，以及三角形，平行四邊形的面積的求法，獲取題目信息并靈活運用信息是解題的關(guān)鍵，本題對學(xué)生的能力要求比較高．