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        1. 已知,△ABC是等腰直角三角形,∠BAC=90°,BC=2,D是線段BC上一點(diǎn),以AD為邊,在AD的右側(cè)作正方形ADEF.直線AE與直線BC交于點(diǎn)G,連接CF.
          (1)如圖1,當(dāng)BD<1時(shí),求證:△ACF≌△ABD;
          (2)如圖2,當(dāng)BD>1時(shí),請(qǐng)?jiān)趫D中作出相應(yīng)的圖形,猜測(cè)線段CF與線段BD的關(guān)系,并說(shuō)明理由;
          (3)連接GF,判斷當(dāng)線段BD為何值時(shí),△GFC是等腰三角形.
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          分析:(1)根據(jù)已知得出AB=AC,AD=AF,∠BAC=∠DAF=90°,即可證明△ABD≌△ACF,
          (2)先猜后證,由(1)得△ABD≌△ACF,再推出CF⊥BD;
          (3)連接GF,根據(jù)條件可得出△AFG≌△ADG,則FG=DG,然后分兩種情況:當(dāng)BD<1時(shí),當(dāng)BD>1時(shí),得出答案即可.
          解答:精英家教網(wǎng)解:(1)∵四邊形ADEF是正方形,△ABC是等腰直角三角形,
          ∴AB=AC,AD=AF,∠BAC=∠DAF=90°(2分)
          ∴∠BAD=∠CAF,∴△ABD≌△ACF(4分)

          (2)作圖如右:(6分)
          猜測(cè):CF=BD,CF⊥BD(7分)
          理由是:同(1)可得△ABD≌△ACF
          ∴CF=BD,∠ACF=∠ABD=∠ACB=45°
          ∴∠FCB=90°,∴CF⊥BD(9分)

          (3)連接GF
          ∵AE是正方形ADEF的對(duì)角線
          ∴∠FAE=∠DAE=45°
          又AD=AF,AG=AG
          ∴△AFG≌△ADG
          ∴FG=DG(10分)
          若Rt△CFG是等腰三角形,則CG=CF
          設(shè)CF=x,得CG=CF=BD=x
          ①如圖1,當(dāng)BD<1時(shí),F(xiàn)G=DG=2-2x
          在Rt△CFG中,根據(jù)勾股定理得
          FG2=CG2+CF2精英家教網(wǎng)
          ∴(2-2x)2=2x2
          解得:x1=2+
          2
          >1(舍去),x2=2-
          2
          (12分)

          ②如圖2,當(dāng)BD>1時(shí),∵CG=BD
          ∴FG=DG=BC=2
          在Rt△CFG中,根據(jù)勾股定理得
          FG2=CG2+CF2,22=2x2
          解得:x1=-
          2
          (舍去),x2=
          2

          綜上所得,當(dāng)BD等于2-
          2
          2
          時(shí),△CFG是等腰三角形(14分)
          點(diǎn)評(píng):本題是一道綜合性很強(qiáng)的題目,考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)以及勾股定理的運(yùn)用,注意分類(lèi)思想的使用.
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          (1)當(dāng)△ABC是等邊三角形時(shí),作尺規(guī)法作出△ABC費(fèi)馬點(diǎn).(不要求寫(xiě)出作法,只要保留作圖痕跡)
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          (2)已知:△ABC是等腰直角三角形,∠C=90°,AC=BC=
          6
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          ①求∠CPD的度數(shù);
          ②求證:P點(diǎn)為△ABC的費(fèi)馬點(diǎn).
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