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        1. (2007•柳州)如圖所示,在平面直角坐標(biāo)系中,拋物線y=-x2+bx+c的圖象與x軸交于A、B兩點(diǎn)(A在B的左側(cè)),與y軸交于C點(diǎn).
          (1)試判斷b與c的積是正數(shù)還是負(fù)數(shù),為什么?
          (2)如果AB=4,且當(dāng)拋物線y=-x2+bx+c的圖象向左平移一個單位時,其頂點(diǎn)在y軸上.
          ①求原拋物線的表達(dá)式;
          ②設(shè)P是線段OB上的一個動點(diǎn),過點(diǎn)P作PE⊥x軸交原拋物線于E點(diǎn).問:是否存在P點(diǎn),使直線BC把△PCE分成面積之比為3:1的兩部分?若存在,求出P點(diǎn)的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.

          【答案】分析:(1)由圖象可知:拋物線與y軸交點(diǎn)在y軸正半軸,因此c>0,拋物線對稱軸在y軸右側(cè),那么對稱軸方程也大于0據(jù)此可求出b的符號,進(jìn)而可求出b、c積的符號.
          (2)①拋物線對稱軸向左平移一個單位時,拋物線對稱軸為y軸,則說明原拋物線的對稱軸為x=1,可根據(jù)AB=4,求出A、B的坐標(biāo),然后代入拋物線的解析式中,即可求出原拋物線的解析式.
          ②如果設(shè)PE與BC的交點(diǎn)為F的話,那么EF長就是兩函數(shù)差的絕對值,而PF的長就是直線BC的函數(shù)值.那么根據(jù)等高三角形的面積比等于底邊比,可得出當(dāng)直線BC分三角形PCE的面積為3:1兩部分時,有兩種情況:
          (I)EF:PF=3:1;
          (II)EF:PF=1:3;然后將上面所說的EF,PF的表達(dá)式代入不同的比例關(guān)系式中,即可求出P點(diǎn)的坐標(biāo).
          解答:解:(1)由圖象知:c>0,且x=->0,即b>0,
          因此bc>0,

          (2)由題意知:原拋物線的對稱軸為x=1,
          ∵AB=4,
          ∴A(-1,0),B(3,0),
          已知A、B均在原拋物線上,則有:

          解得,
          ∴原拋物線的解析式為y=-x2+2x+3.

          ②如圖:設(shè)直線BC與PE的交點(diǎn)為F,
          由于△CEF和△CPF等高,因此面積比等于EF和PF的比.
          易知:直線BC的解析式為:y=-x+3,
          設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為(m,0),(m>0)則有E(m,-m2+2m+3),F(xiàn)(m,-m+3),
          ∴EF=-m2+2m+3-(-m+3)=-m2+3m=m(-m+3),PF=-m+3,
          ①當(dāng)EF:PF=3:1時,=,解得m=3,經(jīng)檢驗(yàn)m=3是增根,不合題意舍去;
          ②當(dāng)EF:PF=1:3時,=,解得m=,經(jīng)檢驗(yàn)m=是原方程的解.
          ∴存在符合條件的P點(diǎn),且坐標(biāo)為P(,0).
          點(diǎn)評:本題考查了二次函數(shù)解析式的確定、圖形面積的求法等知識,要注意的是(2)(II)中在不確定直線BC分三角形PCE的兩部分誰大誰小的情況下要分類討論,不要漏解.
          練習(xí)冊系列答案
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          ①求原拋物線的表達(dá)式;
          ②設(shè)P是線段OB上的一個動點(diǎn),過點(diǎn)P作PE⊥x軸交原拋物線于E點(diǎn).問:是否存在P點(diǎn),使直線BC把△PCE分成面積之比為3:1的兩部分?若存在,求出P點(diǎn)的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.

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