Question

已知：如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，CE是⊙O的直徑，CD⊥AB，垂足為D，BC=2，AC=4，sin∠BAC=

1

3

．
（1）求證：△ACD∽△ECB；
（2）求⊙O的面積．

Answer 1

分析：（1）由圓周角定理得到∠CAB=∠CEB，再據(jù)CD⊥AB得到∠CDA=90°，利用CE為⊙O的直徑，得到∠CBE=90°，從而得到∠CDA=∠CBE，證得△ACD∽△ECB．
（2）利用∠BAC的正弦值求得CD=

1

3

AC=

4

3

．再根據(jù)△ACD∽△ECB列出比例式求得CE的長(zhǎng)，最后利用S=πr²求面積即可．

解答：（1）證明：∵∠CAB和∠CEB都為弧BC所對(duì)的圓周角，
∴∠CAB=∠CEB，
又∵CD⊥AB，
∴∠CDA=90°，
∵CE為⊙O的直徑，
∴∠CBE=90°，
∴∠CDA=∠CBE，
∴△ACD∽△ECB．

（2）解：sin∠BAC=

CD

AC

=

1

3

∵AC=4，
∴CD=

4

3

，
∵△ACD∽△ECB，
∴

AC

BC

=

CD

CE

∴

4

BC

=

4 3

2

，
∴CE=6，且EC為直徑，
∴S=πr²=9π．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了圓周角定理及相似三角形的判定及性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是利用相似的判定證得相似，上一題的結(jié)論可以作為下一題的條件．