Question

如圖，一次函數y=kx+n的圖象分別交x軸、y軸與A、C兩點．且C點的坐標為（0，3），OC=3OA，直線MN經過點（-1，0）且與x軸垂直，
（1）求一次函數的解析式；
（2）將y=kx+n向下平移m個單位，設平移后的直線與y軸交于點D，與直線MN交于點E．
①當m=

10

3

時，判斷四邊形ADEC的形狀，說明理由；
②四邊形ADEC能否為菱形？若能，直接寫出移動的單位長度．

Answer 1

分析：（1）先根據C點的坐標為（0，3），OC=3OA求出A點坐標，把AC兩點的坐標代入一次函數y=kx+n即可得出k、n的值，故可得出一次函數的解析式；
（2）①根據平移的性質得出m=

10

3

時直線的解析式，求出DE兩點的坐標，進而可得出結論；
②設直線移動m個單位長度四邊形ADEC為菱形，再用m表示出E點坐標，根據菱形的性質即可得出結論．

解答：解：（1）∵C點的坐標為（0，3），OC=3OA，
∴A（1，0），
∵

n=3 k+n=0

，
解得

n=3 k=-3

．
∴一次函數的解析式為：y=-3x+3；

（2）①∵一次函數的解析式為y=-3x+3，
∴向下平移

10

3

個單位時的解析式為y=-3x-

1

3

，
∴D（0，-

1

3

），E（-1，

8

3

），
∵直線DE由直線AC平移而來，
∵AC∥DE，
∵AC²=OA²+OC²=1²+3²=10，DE²=1²+（-

1

3

-

8

3

）²=10，
∴AC=DE，
∴四邊形ADEC是平行四邊形；
②能．
設直線移動m個單位長度四邊形ADEC為菱形，
∵一次函數的解析式為：y=-3x+3，
∴移動后直線的解析式為y=-3x+3-m，
∵平移后的直線與y軸交于點D，與直線MN交于點E，
∴D（0，3-m），E（-1，6-m），
∵∵直線DE由直線AC平移而來，
∵AC∥DE，
∵AC²=OA²+OC²=1²+3²=10，DE²=1²+（3-m-6+m）²=10，
∴AC=DE，
∴四邊形ADEC是平行四邊形，
∵四邊形ADEC為菱形，
∴CE=AC，即CE²=AC²=10，
∵C（0，3），E（-1，6-m），
∴CE²=1²+（3-6+m）²=10，解得m=6或m=0，
∴當直線向下或向上移動6個單位時，四邊形ADEC為菱形．

點評：本題考查的是一次函數綜合題，涉及到平行四邊形及菱形的判定與性質，綜合性較強，難度適中．