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        1. 【題目】我們給出如下定義:順次連接任意一個四邊形各邊中點所得的四邊形叫中點四邊形.

          (1)如圖1,四邊形ABCD中,點E,F(xiàn),G,H分別為邊AB,BC,CD,DA的中點.
          求證:中點四邊形EFGH是平行四邊形;
          (2)如圖2,點P是四邊形ABCD內(nèi)一點,且滿足PA=PB,PC=PD,∠APB=∠CPD,點E,F(xiàn),G,H分別為邊AB,BC,CD,DA的中點,猜想中點四邊形EFGH的形狀,并證明你的猜想;
          (3)若改變(2)中的條件,使∠APB=∠CPD=90°,其他條件不變,直接寫出中點四邊形EFGH的形狀.(不必證明)

          【答案】
          (1)

          證明:如圖1中,

          連接BD.

          ∵點E,H分別為邊AB,DA的中點,

          ∴EH∥BD,EH= BD,

          ∵點F,G分別為邊BC,CD的中點,

          ∴FG∥BD,F(xiàn)G= BD,

          ∴EH∥FG,EH=GF,

          ∴中點四邊形EFGH是平行四邊形


          (2)

          四邊形EFGH是菱形.

          證明:如圖2中,連接AC,BD.

          ∵∠APB=∠CPD,

          ∴∠APB+∠APD=∠CPD+∠APD

          即∠APC=∠BPD,

          在△APC和△BPD中,

          ∴△APC≌△BPD,

          ∴AC=BD

          ∵點E,F(xiàn),G分別為邊AB,BC,CD的中點,

          ∴EF= AC,F(xiàn)G= BD,

          ∵四邊形EFGH是平行四邊形,

          ∴四邊形EFGH是菱形.


          (3)

          解:四邊形EFGH是正方形.證明:如圖2中,

          設(shè)AC與BD交于點O.AC與PD交于點M,AC與EH交于點N.

          ∵△APC≌△BPD,

          ∴∠ACP=∠BDP,

          ∵∠DMO=∠CMP,

          ∴∠COD=∠CPD=90°,

          ∵EH∥BD,AC∥HG,

          ∴∠EHG=∠ENO=∠BOC=∠DOC=90°,

          ∵四邊形EFGH是菱形,

          ∴四邊形EFGH是正方形.


          【解析】(1)如圖1中,連接BD,根據(jù)三角形中位線定理只要證明EH∥FG,EH=FG即可.(2)四邊形EFGH是菱形.先證明△APC≌△BPD,得到AC=BD,再證明EF=FG即可.(3)四邊形EFGH是正方形,只要證明∠EHG=90°,利用△APC≌△BPD,得∠ACP=∠BDP,即可證明∠COD=∠CPD=90°,再根據(jù)平行線的性質(zhì)即可證明.本題考查平行四邊形的判定和性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、菱形的判定和性質(zhì)、正方形的判定和性質(zhì)等知識,解題的關(guān)鍵是靈活應(yīng)用三角形中位線定理,學(xué)會添加常用輔助線,屬于中考?碱}型.
          【考點精析】通過靈活運用平行四邊形的判定與性質(zhì),掌握若一直線過平行四邊形兩對角線的交點,則這條直線被一組對邊截下的線段以對角線的交點為中點,并且這兩條直線二等分此平行四邊形的面積即可以解答此題.

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          ∵E是AB的中點,EF∥BC
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