Question

【題目】已知，中，，，點(diǎn)為邊中點(diǎn)，連接，點(diǎn)為的中點(diǎn)，線段繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段，連接，．

（1）如圖1，當(dāng)時(shí)，請(qǐng)直接寫出的值；

（2）如圖2，當(dāng)時(shí)，（1）中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請(qǐng)給出證明；若不成立，請(qǐng)寫出正確的結(jié)論，并說明理由；

（3）如圖3，當(dāng)時(shí)，請(qǐng)直接寫出的值(用含的三角函數(shù)表示)．

Answer 1

【答案】（1）；（2）不成立，，理由見解析；（3）．

【解析】

（1）如圖1（見解析），先根據(jù)中位線定理得出，再根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)得出，，，然后根據(jù)三角形全等的判定定理與性質(zhì)可得，由此即可得出答案；

（2）如圖2（見解析），先根據(jù)中位線定理、等腰三角形的三線合一得出，再根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得出，，然后根據(jù)相似三角形的判定與性質(zhì)可得，，從而可得，最后根據(jù)相似三角形的判定與性質(zhì)可得，據(jù)此利用正弦三角函數(shù)值即可得；

（3）如圖3（見解析），參照題（2）的思路，先根據(jù)相似三角形的判定與性質(zhì)得出，再在中，利用正弦三角函數(shù)值即可得．

（1）如圖1，取AC的中點(diǎn)G，連接EG，則

點(diǎn)為的中點(diǎn)

是的中位線

，即

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，，

是等邊三角形

，

，

是等邊三角形

點(diǎn)為邊中點(diǎn)

，

在和中，

；

（2）不成立，，理由如下：

如圖2，連接，取的中點(diǎn)，連接

∵是的中點(diǎn)

∴

∴

∵

是等腰三角形

∵是中點(diǎn),

∴，，

∴

∴

當(dāng)時(shí)，則

和為等腰直角三角形

∴，即

∴，

∴

∴，

∵

∴

∴

∴

在中，，即

則；

（3），求解過程如下：

如圖3，連接，取的中點(diǎn)，連接

參照（2），同理可得：，，

當(dāng)時(shí)，則

，（旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)）

和為等腰三角形

∴

又

∴

∴

∴，

∵

∴

∴

∴

在中，

即．