Question

【題目】如圖，點(diǎn)B在線段AF上，分別以AB、BF為邊在線段AF的同側(cè)作正方形ABCD和正方形BFGE，連接CF和DE，CF交EG于點(diǎn)H．

(1)若E是BC的中點(diǎn)，求證：DE＝CF；

(2)若∠CDE＝30°，求的值．

Answer 1

【答案】（1） DE=CF；（2）

【解析】試題分析：（1）根據(jù)線段中點(diǎn)的定義可得BE=CE，再根據(jù)正方形的四條邊都相等可得BC=CD，BE=BF，然后求出BF=CE，再利用“邊角邊”證明△BCF和△CDE全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得DE=CF；

（2）設(shè)CE=x，根據(jù)∠CDE的正切值表示出CD，然后求出BE，從而得到∠BCF的正切值，再根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等可得∠BCF=∠GFH，然后根據(jù)等角的正切值相等解答即可．

試題解析：（1）證明：∵E是BC的中點(diǎn)，

∴BE=CE，

在正方形ABCD和正方形BFGE中，BC=CD，BE=BF，

∴BF=CE，

在△BCF和△CDE中，

，

∴△BCF≌△CDE（SAS），

∴DE=CF；

（2）設(shè)CE=x，∵∠CDE=30°，

∴tan∠CDE=，

∴CD= ，

∵正方形ABCD的邊BC=CD，

∴BE=BC﹣CE= ﹣x，

∵正方形BFGE的邊長BF=BE，

∴tan∠BCF=，

∵正方形BGFE對(duì)邊BC∥GF，

∴∠BCF=∠GFH，

∵tan∠GFH=，

∴．