Question

二次函數(shù)y=ax²+bx+c，當(dāng)x=

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2

時，有最大值25，而方程ax²+bx+c=0的兩根α、β，滿足α³+β³=19，求a、b、c．

Answer 1

分析：設(shè)二次函數(shù)y=a（x-h）²+k（a≠0），根據(jù)當(dāng)x=

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2

時，有最大值25即可求出頂點，再根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系即可求解．

解答：解：設(shè)二次函數(shù)y=a（x-h）²+k（a≠0），
∵當(dāng)x=

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2

時，有最大值25，
即：頂點為(

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2

，25)，
∴y=a(x-

1

2

)2+25=ax2-ax+

1

4

a+25，
由已知得：ax2-ax+

1

4

a+25=0的兩根為α、β，滿足α³+β³=19，
∴（α+β）[（α+β）²-3αβ]=19，
根據(jù)兩根之和與兩根之積的關(guān)系：α+β=1，αβ=

1

4

+

25

a

，
代入得：1-3（

1

4

+

25

a

）=19，
解得：a=-4，
∴y=-4x²+4x+24，即a=-4，b=4，c=24．

點評：本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式及根與系數(shù)的關(guān)系，難度較大，關(guān)鍵是正確設(shè)出二次函數(shù)頂點式的形式再根據(jù)已知條件解答．