Question

AB是⊙O的直徑，AC是⊙O的弦，過C作⊙O的切線，交AB的延長線于E．作弦AD，使∠DAB=∠CAB，連接ED．
（1）求證：ED是⊙O的切線；
（2）當(dāng)∠CAD=

 

°時，CE⊥DE，證明你的結(jié)論；
（3）CD與AE相交于F，當(dāng)OF=2，F(xiàn)B=3時，求E到⊙O的切線長．

Answer 1

分析：（1）連接OC，OD．要證明ED是⊙O的切線，只需證明∠ODE=90°即可；
（2）結(jié)合（1）中切線的性質(zhì)和CE⊥DE，OC=OD，可知四邊形OCED是正方形，則∠COD=90°，根據(jù)圓周角定理得到∠CAD=45°；
（3）根據(jù)等腰三角形COD的三線合一，得到OB垂直平分CD．根據(jù)相交弦定理即可求得CF的長，再根據(jù)勾股定理和切割線定理進(jìn)行列方程組求解．

解答：證明：（1）連接OC，OD；
∵CE是圓的切線，
∴∠OCE=90°．
∵∠DAB=∠CAB，
∴∠COE=∠DOE．
∵OC=OD，OE=OE，
∴△COE≌△DOE．
∴∠ODE=∠OCE=90°．
∴ED是⊙O的切線．

（2）45°．
∵∠COD=90°，
∴四邊形OCED為正方形．
∴CE⊥DE．

（3）根據(jù)題意，得圓的半徑是5，則AF=7，
∵OC=OD，∠COE=∠DOE，
∴OB垂直平分CD．
∵CF•DF=AF•FB=21，CF=DF=

21

，
設(shè)CE=x，BE=y，
則有

x2=21+(3+y)2 x2=y(y+10)

，
解得

x= 5 2 21 y=7.5

，
即CE=

5

2

21

．

點評：此題綜合運(yùn)用了切線的判定和性質(zhì)、圓周角定理的推論、正方形的性質(zhì)和判定、相交弦定理、勾股定理和切割線定理．