Question

如圖，等邊三角形ABC的邊長為3，點P、Q分別是AB、BC上的動點（點P、Q與三角形ABC的頂點不重合），且AP=BQ，AQ、CP相交于點E．
（1）如設(shè)線段AP為x，線段CP為y，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出定義域；
（2）當(dāng)△CBP的面積是△CEQ的面積的2倍時，求AP的長；
（3）點P、Q分別在AB、BC上移動過程中，AQ和CP能否互相垂直？如能，請指出P點的位置；如不能，請說明理由．

Answer 1

解：（1）∵△ABC是等邊三角形，
∴AB=AC=BC，∠B=∠BAC=∠ACB=60°，
作PF⊥BC于F
∵AP=x，BP=3-x，
∴BF=（3-x），PF=（3-x），CF=（3+x），
∴CP²=PF²+CF²
∴y=，0＜x＜3；

（2）∵AP=BQ，
∴AB=AC，∠B=∠BAC，
∴△ABQ≌△CAP（SAS），
∴∠BAQ=∠PCA，
∠BPC=∠BAC+∠PAC，∠EQC=∠B+∠BAQ，
∴∠BPC=∠EQC，
∵∠PCB=∠QCE，
∴△CEQ∽△CBP，
∴==，
∴，
∴x=（舍），x=，
AP的長為；

（3）∵△ABQ≌△CAP，
∴∠APC=∠AQB，
∴∠CEQ=∠AEP=180°-∠PAE-∠APC=180°-∠PAE-∠AQB=∠B，
∵△ABC是等邊三角形，
∴∠CEQ=∠B=60°，
∴AQ和CP不可能互相垂直．
分析：（1）作PF⊥BC，在直角△BPF中，利用勾股定理即可得到關(guān)于x，y的方程，即可寫出函數(shù)關(guān)系式；
（2）證明△CEQ∽△CBP，根據(jù)相似三角形的面積的比等于相似比的平方，即可求解；
（3）由△ABQ≌△CAP，易證得∠CEQ=∠B=60°，即可得AQ和CP不可能互相垂直．
點評：此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)與全等三角形的判定與性質(zhì)．此題難度適中，解題的關(guān)鍵是注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．