Question

【題目】如圖，已知⊙O為△ABC的外接圓，BC為直徑，點(diǎn)E在AB上，過點(diǎn)E作EF⊥BC，點(diǎn)G在FE的延長(zhǎng)線上，且GA＝GE.

（1）判斷AG與⊙O的位置關(guān)系，并說明理由.

（2）若AC＝6，AB＝8，BE＝3，求線段OE的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1）AG與⊙O相切，證明見解析；（2）.

【解析】

試題分析：（1）直線與圓的位置關(guān)系有三種，相交，相切，相離，由圖形顯然AG與⊙O相切，再根據(jù)切線的判定定理，運(yùn)用圓的性質(zhì)和三角形的等邊對(duì)等角證明AG垂直于半徑OA即可.

（2）求線段OE的長(zhǎng)，由題可知△OEF為直角三角形，所以考慮運(yùn)用勾股定理求解.由圓的性質(zhì)我們知道△ABC是直角三角形，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可以求出線段EF、BF的長(zhǎng)，從而在直角三角形OEF中勾股定理求解.

試題解析：（1）如圖 連接OA，∵OA＝OB，GA＝GE，∴∠ABO＝∠BAO，∠GEA＝∠GAE.

∵EF⊥BC，∴∠BFE＝90°.∴∠ABO＋∠BEF＝90°.又∵∠BEF＝∠GEA，∴∠GAE＝∠BEF.

∴∠BAO＋∠GAE＝90°. ∴OA⊥AG，即AG與⊙O相切．

（2）解：∵BC為直徑，∴∠BAC＝90°.∵AC＝6，AB＝8，∴BC＝10. ∵∠EBF＝∠CBA，∠BFE＝∠BAC，

∴△BEF∽△BCA.∴＝＝.∴EF＝1.8，BF＝2.4，

∴OF＝OB－BF＝5－2.4＝2.6. ∴OE＝＝.