Question

【題目】 已知拋物線y=x2+bx+c經(jīng)過點(diǎn)A（-2，0），B（0，-4）與x軸交于另一點(diǎn)C，連接BC．

（1）求拋物線的解析式；

（2）如圖，P是第一象限內(nèi)拋物線上一點(diǎn)，BP交x軸于點(diǎn)E，且S△PBO=S△PBC，求證：E是OC的中點(diǎn)；

（3）在（2）的條件下求點(diǎn)P的坐標(biāo)．

（4）在（2）的條件下拋物線上是否存在點(diǎn)D，使△ACD的面積與△ABP的面積相等？若存在，請求出點(diǎn)D的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=x2-x-4；（2）見解析；（3）P（6，8）；（4）存在，D點(diǎn)坐標(biāo)為（6，8）或（-4，8）

【解析】

（1）利用待定系數(shù)法求拋物線的解析式；

（2）令y=0求拋物線與x軸的交點(diǎn)C的坐標(biāo)，作△POB和△PBC的高線，根據(jù)面積相等可得OG=CF，證明△OEG≌△CEF，得OE=CE，則E是OC的中點(diǎn)；

（3）可得OE=CE=2，根據(jù)三角函數(shù)列式可得P的坐標(biāo)；

（4）根據(jù)S△ABP=S△AEP+S△AEB可求出△ABP的面積，則面積相等可求出點(diǎn)D的縱坐標(biāo)，代入拋物線解析式可得D點(diǎn)的坐標(biāo)．

解：（1）把點(diǎn)A（-2，0），B（0、-4）代入拋物線y=x2+bx+c中得：

，

解得：，

∴拋物線的解析式為y=x2-x-4；

（2）當(dāng)y=0時，x2-x-4=0，

解得：x=-2或4，

∴C（4，0），

如圖1，過O作OG⊥BP于G，過C作CF⊥BP于F，

∵S△PBO=S△PBC，

∴，

∴OG=CF，

∵∠OEG=∠CEF，∠OGE∠CFE，

∴△OEG≌△CEF（AAS），

∴OE=CE，

即E是OC的中點(diǎn)；

（3）設(shè)P（x，x2-x-4），如圖2，過P作PM⊥y軸于M，

tan=，

∴BM=2PM，

∴4+x2-x-4=2x，

x2-6x=0，

x1=0（舍），x2=6，

∴P（6，8），

（4）∵OE=2，OA=2，

∴AE=OA+OE=4，

∴S△ABP=S△AEP+S△AEB==24，

∵AC=6，△ACD的面積與△ABP的面積相等，

∴，

∴|yD|=8，

∴yD=±8，

當(dāng)時，

解得x1=6，x2=-4，

∴D1（6，8），D2（-4，8），

當(dāng)時，方程沒有實(shí)數(shù)根，

綜合可得D點(diǎn)坐標(biāo)為（6，8）或（-4，8）．