Question

（2012•黑河）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知Rt△AOB的兩條直角邊OA、OB分別在y軸和x軸上，并且OA、OB的長(zhǎng)分別是方程x²-7x+12=0的兩根（OA＜OB），動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A開(kāi)始在線段AO上以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向點(diǎn)0運(yùn)動(dòng)；同時(shí)，動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)B開(kāi)始在線段BA上以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)P、Q運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒．
（1）求A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)．
（2）求當(dāng)t為何值時(shí)，△APQ與△AOB相似，并直接寫出此時(shí)點(diǎn)Q的坐標(biāo)．
（3）當(dāng)t=2時(shí)，在坐標(biāo)平面內(nèi)，是否存在點(diǎn)M，使以A、P、Q、M為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，請(qǐng)直接寫出M點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）解一元二次方程，求出OA、OB的長(zhǎng)度，從而得到A、B點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）△APQ與△AOB相似時(shí)，存在兩種情況，需要分類討論，不要遺漏，如圖（2）所示；
（3）本問(wèn)關(guān)鍵是找齊平行四邊形的各種位置與性質(zhì)，如圖（3）所示．在求M₁，M₂坐標(biāo)時(shí)，注意到M₁，M₂與Q點(diǎn)坐標(biāo)的對(duì)應(yīng)關(guān)系，則容易求解；在求M₃坐標(biāo)時(shí)，可以利用全等三角形，得到線段之間關(guān)系．

解答：解：（1）解方程x²-7x+12=0，得x₁=3，x₂=4，
∵OA＜OB，∴OA=3，OB=4．
∴A（0，3），B（4，0）．

（2）在Rt△AOB中，OA=3，OB=4，∴AB=5，∴AP=t，QB=2t，AQ=5-2t．
△APQ與△AOB相似，可能有兩種情況：
（I）△APQ∽△AOB，如圖（2）a所示．
則有

AP

AO

=

AQ

AB

，即

t

3

=

5-2t

5

，解得t=

15

11

．
此時(shí)OP=OA-AP=

18

11

，PQ=AP•tanA=

20

11

，∴Q（

20

11

，

18

11

）；
（II）△APQ∽△ABO，如圖（2）b所示．
則有

AP

AB

=

AQ

AO

，即

t

5

=

5-2t

3

，解得t=

25

13

．
此時(shí)AQ=

15

13

，AH=AQ•cosA=

9

13

，HQ=AQ•sinA=

12

13

，OH=OA-AH=

30

13

，∴Q（

12

13

，

30

13

）．
綜上所述，當(dāng)t=

15

11

秒或t=

25

13

秒時(shí)，△APQ與△AOB相似，所對(duì)應(yīng)的Q點(diǎn)坐標(biāo)分別為（

20

11

，

18

11

）或（

12

13

，

30

13

）．

（3）結(jié)論：存在．如圖（3）所示．
∵t=2，∴AP=2，AQ=1，OP=1．
過(guò)Q點(diǎn)作QE⊥y軸于點(diǎn)E，則QE=AQ•sin∠QAP=

4

5

，AE=AQ•cos∠QAP=

3

5

，
∴OE=OA-AE=

12

5

，∴Q（

4

5

，

12

5

）．
∵?APQM₁，∴QM₁⊥x軸，且QM₁=AP=2，∴M₁（

4

5

，

2

5

）；
∵?APQM₂，∴QM₂⊥x軸，且QM₂=AP=2，∴M₂（

4

5

，

22

5

）；
如圖（3），過(guò)M₃點(diǎn)作M₃F⊥y軸于點(diǎn)F，
∵?AQPM₃，∴M₃P=AQ，∠QAE=∠M₃PF，∴∠PM₃F=∠AQE；
在△M₃PF與△QAE中，∵∠QAE=∠M₃PF，M₃P=AQ，∠PM₃F=∠AQE，
∴△M₃PF≌△QAE，
∴M₃F=QE=

4

5

，PF=AE=

3

5

，∴OF=OP+PF=

8

5

，∴M₃（-

4

5

，

8

5

）．
∴當(dāng)t=2時(shí)，在坐標(biāo)平面內(nèi)，存在點(diǎn)M，使以A、P、Q、M為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形．
點(diǎn)M的坐標(biāo)為：M₁（

4

5

，

2

5

），M₂（

4

5

，

22

5

），M₃（-

4

5

，

8

5

）．

點(diǎn)評(píng)：本題是動(dòng)點(diǎn)型壓軸題，綜合考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、解一元二次方程、平行四邊形等知識(shí)點(diǎn)．本題難點(diǎn)在于分類討論思想的應(yīng)用，第（2）（3）問(wèn)中，均涉及到多種情況，需要逐一分析不能遺漏；另外注意解答中求動(dòng)點(diǎn)時(shí)刻t和點(diǎn)的坐標(biāo)的過(guò)程中，全等三角形、相似三角形、三角函數(shù)等知識(shí)發(fā)揮了重要作用，這是解答壓軸題的常見(jiàn)技巧，需要熟練掌握．