Question

【題目】如圖，A(m，0)，B(0，n)，以B點為直角頂點在第二象限作等腰直角△ABC.

(1)求C點的坐標.

(2)在y軸右側(cè)的平面內(nèi)是否存在一點P，使△PAB與△ABC全等？若存在，求出P點坐標，若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】(1)點C的坐標為(﹣n，n﹣m)；(2)存在，P點坐標為(n，n+m)或(m+n，m).

【解析】

(1)過點C作CD⊥y軸于點D，由△ABC為等腰直角三角形即可得出∠ABC=90°、AB=BC，通過角的計算即可得出∠ABO=∠BCD，再結(jié)合∠CDB=∠BOA=90°即可利用AAS證出△ABO和△BCD，由此即可得出BD、CD的長度，進而可得出點C的坐標；

(2)△PAB與△ABC全等分兩種情況：①當∠ABP=90°時，根據(jù)∠ABC=∠ABP=90°、△ABC≌△ABP，即可得出點C、P關(guān)于點B對稱，結(jié)合點B、C的坐標即可得出點P的坐標；②當∠BAP=90°時，由∠ABC=∠BAP=90°即可得出BC∥AP，根據(jù)△ABC≌△BAP即可得出BC=AP，進而可找出四邊形APBC為平行四邊形，結(jié)合點A、B、C的坐標即可找出點P的坐標.綜上即可得出結(jié)論.

解：(1)過點C作CD⊥y軸于點D，如圖1所示.

∵△ABC為等腰直角三角形，

∴∠ABC=90°，AB=BC.

∵CD⊥BD，BO⊥AO，

∴∠CDB=∠BOA=90°.

∵∠CBD+∠ABO=90°，∠CBD+∠BCD=90°，

∴∠ABO=∠BCD.

∴△ABO≌△BCD(AAS)，

∴BD=AO，CD=BO，

∵A(m，0)，B(0，n)，

∴BD=﹣m，CD=n，

∴點C的坐標為(﹣n，n﹣m).

(2)△PAB與△ABC全等分兩種情況：

①當∠ABP=90°時，如圖2所示.

∵∠ABC=∠ABP=90°，△ABC≌△ABP，

∴點C、P關(guān)于點B對稱，

∵C(﹣n，n﹣m)，B(0，n)，

∴點P的坐標為(n，n+m)；

②當∠BAP=90°時，如圖3所示.

∵△ABC≌△BAP，

∴∠ABC=∠BAP=90°，BC=AP，

∴BC∥AP，

∴四邊形APBC為平行四邊形.

∵A(m，0)、B(0，n)，C(﹣n，n﹣m)，

∴點P的坐標為(m+n，m).

綜上所述：在y軸右側(cè)的平面內(nèi)存在一點P，使△PAB與△ABC全等，P點坐標為(n，n+m)或(m+n，m).