Question

【題目】如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝6，A，N是AB邊上的兩點，且滿足∠MCN＝45°，若AM＝3，則MN的長為_____．

Answer 1

【答案】5

【解析】

將△CBN順時針旋轉(zhuǎn)90度得到△ACR，連接RM得到△CRA≌△CNB全等BN=AR，再證△CNM≌△CRM，即可得到MR=MN，再證△ARM是直角三角形并利用勾股定理解三角形即可.

解：如圖，將△CBN順時針旋轉(zhuǎn)90度，得到△ACR，連接RM

則△CRA≌△CNB全等，

∴AR＝BN，∠B＝∠CAR，∠BCN＝∠ACR，

∵∠ACB＝90°，AC＝BC＝6，

∴AB＝12，∠B＝∠CAB＝45°，

∴∠CAR＝45°，

∴∠MAR＝90°，

∵∠MCN＝45°，

∴∠BCN+∠ACM＝45°＝∠ACM+∠ACR，

∴∠MCN＝∠MCR，且CN＝CR，CM＝CM，

∴△CNM≌△CRM（SAS）

∴MN＝MR，

∵AB＝12，AM＝3，

∴BN+MN＝9，

∴BN＝AR＝9﹣MN，

∵MR2＝AM2+AR2，

∴MN2＝（9﹣MN）2+9，

∴MN＝5

故答案為5．