Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，點(diǎn) O 為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn) A 在 x 軸負(fù)半軸上，點(diǎn) B、C 分別在 x 軸、y 軸正半軸上，且 OB=2OA，OB﹣OC=OC﹣OA=2．

（1）求點(diǎn) C 的坐標(biāo)；

（2）點(diǎn) P 從點(diǎn) A 出發(fā)以每秒 1 個(gè)單位的速度沿 AB 向點(diǎn) B 勻速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn) Q 從點(diǎn) B 出發(fā) 以每秒 3 個(gè)單位的速度沿 BA 向終點(diǎn) A 勻速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn) Q 到達(dá)終點(diǎn) A 時(shí)，點(diǎn) P、Q 均停止運(yùn) 動(dòng)，設(shè)點(diǎn) P 運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為 t 秒（t＞0），線段 PQ 的長(zhǎng)度為 y，用含 t 的式子表示 y，并寫出 相應(yīng)的 t 的范圍；

（3）在（2）的條件下，過點(diǎn) P 作 x 軸的垂線 PM，PM=PQ，是否存在 t 值使點(diǎn) O 為 PQ 中 點(diǎn)？若存在求 t 值并求出此時(shí)三角形 CMQ 的面積；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）點(diǎn) C 的坐標(biāo)為（0，6）；（2）y=12﹣4t（0＜t≤3），y=4t﹣12（3＜t≤4）；（3）存在 t 值使點(diǎn) O 為 PQ 中點(diǎn)，三角形 CMQ 的面積為：8 或 16．

【解析】分析：（1）設(shè)A（x，0），則OA=-x，OB=-2x，OC=-2x-2，進(jìn)而可得B（-2x，0），C（0，-2x-2），然后根據(jù)OC-OA=2，可得x=-4，進(jìn)而可得點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（2）由（1）可知AB=OA+OB=12，由點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)以每秒3個(gè)單位的速度沿BA向終點(diǎn)A勻速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)Q到達(dá)終點(diǎn)A時(shí)，點(diǎn)P、Q均停止運(yùn)動(dòng)，可得t的最大值為4秒，然后求出P、Q兩點(diǎn)相遇時(shí)的t的值為：12÷（1+3）=3秒，然后分兩種情況討論即可：①0＜t≤3；②3＜t≤4；
（3）點(diǎn)O為PQ中點(diǎn)，可知0＜t≤3，OP=OQ，即OA-AP=OB-BP，進(jìn)而可求t的值；然后分兩種情況討論即可：①點(diǎn)M在x軸上方；②點(diǎn)M在x軸下方．

詳解：（1）∵點(diǎn)A在x軸負(fù)半軸上，點(diǎn)B、C分別在x軸、y軸正半軸上，OB=2OA，

OB﹣OC=OC﹣OA=2．設(shè)A（x，0），

∴OA=﹣x，OB=﹣2x，OC=﹣2x﹣2，

∴B（﹣2x，0），C（0，﹣2x﹣2），

∵OC﹣OA=2，

∴﹣2x﹣2﹣（﹣x）=2，解得：x=﹣4，

∴OA=4，OB=8，OC=6，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣4，0），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（8，0），點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，6）；

（2）由（1）知：AB=OA+OB=12，

∵點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)以每秒1個(gè)單位的速度沿AB向點(diǎn)B勻速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)以每秒3個(gè)單位的速度沿BA向終點(diǎn)A勻速運(yùn)動(dòng)，

∴點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t（t＞0）秒時(shí)，AP=t，BQ=3t，當(dāng)P、Q兩點(diǎn)相遇時(shí)的t的值為：12÷（1+3）=3秒，

∵當(dāng)點(diǎn)Q到達(dá)終點(diǎn)A時(shí)，點(diǎn)P、Q均停止運(yùn)動(dòng)，

∴t的最大值為12÷3=4秒.

①當(dāng)0＜t≤3時(shí)，如圖1，

PQ=AB﹣AP﹣QB=12﹣t﹣3t=12﹣4t，

即y=12﹣4t（0＜t≤3）；

②當(dāng)3＜t≤4時(shí)，如圖2，

PQ=AP+BQ-AB=4t-12,即y=4t-12().

（3）存在t值使點(diǎn)O為PQ中點(diǎn)，

∵點(diǎn)O為PQ中點(diǎn)，

∴0＜t≤3，OP=OQ，即OA﹣AP=OB﹣BQ，

∴4-t=8-3t,

當(dāng)t=2時(shí)，AP=2，OP=2，OQ=2，PQ=4，PM=PQ=4，

①點(diǎn)M在x軸上方時(shí)，如圖3，

過點(diǎn)C作CN⊥PM，得：四邊形CNPQ是梯形，

∵S△CMQ=S梯形CNPQ﹣S△CNM﹣S△PQM，

∴S△CMQ=（CN+PQ）×PN﹣CNMN﹣PMPQ，

=（OP+PQ）×OC﹣×OP×（OC﹣PM）﹣×4×4，

=（2+4）×6﹣2×（6﹣4）﹣8，

=18﹣2﹣8，

=8；

②點(diǎn)M在x軸下方，如圖4．

過點(diǎn)C作CN⊥PM，得：四邊形CNPQ是梯形，

∵S△CMQ=S梯形CNPQ+S△PQM﹣S△CNM，

∴S△CMQ=（CN+PQ）PN+PQPM﹣MNCN，

=（OP+PQ）×OC+×4×4﹣（OC+PM）OP，

=（2+4）×6+8﹣（6+4）×2，

=+8﹣，

=18+8﹣10，

=16．

∴三角形CMQ的面積為：8或16．