Question

設(shè)一組數(shù)據(jù)是x₁，x₂，…，x_n，它們的平均數(shù)是，方差．
（Ⅰ）證明：方差也可表示為；并且s²≥0，當(dāng)x₁=x₂=…=x_n=時(shí)，方差s²取最小值0；
（Ⅱ）求滿足方程的一切實(shí)數(shù)對(duì)（x，y）．

Answer 1

解：（1）∵，
=[x₁²+-2x₁+x₂²+-2+…+x_n²+-2x_n]，
=（x₁²+x₂²+…+x_n²）+（++…+）+（-2x₁-2-…-2x_n]，
=（x₁²+x₂²+…+x_n²）++（-2x₁-2-…-2x_n]，
=（x₁²+x₂²+…+x_n²）+-2（x₁+x₂+…+x_n]，
=（x₁²+x₂²+…+x_n²）-，
∴；
當(dāng)x₁=x₂=…=x_n=時(shí)，
s²=-=0，
∴此時(shí)方差s²取最小值0；

（2）設(shè)數(shù)據(jù)-x，（y-1），x-y的平均數(shù)為：
=[（-x）+（y-1）+（x-y）]，
=-，
方差s²=[x²+（y-1）²+（x-y）²]-（）²=-（-）²，
當(dāng)且僅當(dāng)-x=y-1=x-y==-時(shí)，
s²=0，
此時(shí)x=，y=．
分析：（1）根據(jù)方差的定義的公式展開(kāi)，進(jìn)行整理得出命題的正確性；
（2）結(jié)合方差s²=[x²+（y-1）²+（x-y）²]-（）²=-（-）²，當(dāng)且僅當(dāng)-x=y-1=x-y==-時(shí)，求出即可．
點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了方差公式的證明以及綜合應(yīng)用，正確的將公式變形是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．