【答案】
分析:(1)先根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系,表示出OA、OB、OC的長,然后根據(jù)tan∠CAO-tan∠CBO=2即可得出關(guān)于a的方程,進(jìn)而可求出a的值和拋物線的解析式.根據(jù)拋物線的解析式即可求出頂點(diǎn)D的坐標(biāo).
(2)本題可先設(shè)出P點(diǎn)的坐標(biāo),P點(diǎn)的橫坐標(biāo)為拋物線的對稱軸的值,縱坐標(biāo)的絕對值就是圓的半徑,連接PF后可根據(jù)相似三角形DPF和DEB求出圓的半徑的長,也就能求出P點(diǎn)的坐標(biāo).
解答:
解:(1)設(shè)A(x
1,0)、B(x
2,0)
依題意:x
1<0,x
2>0
并且x
1、x
2是關(guān)于x的方程ax
2+(1-a)x+(5-2a)=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根
∴△=(1-a)
2-4a(5-2a)=9a
2-22a+1>0,x
1+x
2=

,
x
1x
2=

<0
①當(dāng)點(diǎn)C在y軸正半軸上時(shí),
∵C(0,5-2a)
∴OC=5-2a>0
∵tan∠CAO-tan∠CBO=2 tan∠CAO=

,tan∠CBO=

∴

-

=2
∵AO=-x
1,OB=x
2∴

=2
∴

=2
∴

=2
解得:a=-1
當(dāng)a=-1時(shí)符合題意
∴y=-x
2+2x+7,即頂點(diǎn)D(1,8)

②當(dāng)點(diǎn)C在y軸負(fù)半軸上時(shí),
∵C(0,5-2a)
∴CO=2a-5>0
∵tan∠CAO-tan∠CBO=2tan∠CAO=

,tan∠CBO=

∴

=2
∵AO=-x
1,OB=x
2∴

=2
∴

=2
∴

=2
解得:a=3
當(dāng)a=3時(shí)符合題意
∴y=3x
2-2x-1,頂點(diǎn)D(

)
綜上所述,拋物線的解析式為y=-x
2+2x+7或y=3x
2-2x-1,相應(yīng)頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為(1,8)或(

)

(2)當(dāng)拋物線的解析式為y=-x
2+2x+7時(shí),B(1+2

,0),C(0,7),OB<OC,不合題意;
當(dāng)拋物線的解析式為y=3x
2-2x-1時(shí),B(1,0),C(0,-1),OB=CO
∴拋物線y=3x
2-2x-1符合題意(6分)
作PE⊥x軸于點(diǎn)E,PF⊥BD于點(diǎn)F.
設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(

)
頂點(diǎn)D

∵⊙P與x軸、直線BD都相切
∴線段EP與線段FP長度相等
∵∠PDF=∠BDE,∠DFP=∠DEB
∴△DPF∽△DBE
∴


①當(dāng)點(diǎn)P在第一象限時(shí),m>0
∴

=

∴m=

∴P(

,

)
②當(dāng)點(diǎn)P在第四象限時(shí),點(diǎn)P一定在線段DE上,-

<m<0
∴

=

∴m=

∴P(

,

)
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為P(

,

)或P(

,

).
點(diǎn)評:本題著重考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系、切線的性質(zhì)、三角形相似等知識點(diǎn),綜合性強(qiáng),考查學(xué)生分類討論,數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法.