Question

【題目】已知：如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，∠C=90°，OB=25，OC=20，若點(diǎn)M是邊OC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（與點(diǎn)O、C不重合），過點(diǎn)M作MN∥OB交BC于點(diǎn)N．

（1）求點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（2）當(dāng)△MCN的周長(zhǎng)與四邊形OMNB的周長(zhǎng)相等時(shí)，求CM的長(zhǎng)；
（3）在OB上是否存在點(diǎn)Q，使得△MNQ為等腰直角三角形？若存在，請(qǐng)求出此時(shí)MN的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：如圖1，過C作CH⊥OB于H，

∵∠C=90°，OB=25，OC=20，

∴BC= = =15，

∵S△OBC= OBCH= OCBC，

∴CH= = =12，

∴OH= =16，

∴C（16，﹣12）

（2）

解：∵M(jìn)N∥OB，

∴△CNM∽△COB，

∴ = = = ，

設(shè)CM=x，則CN= x，

∵△MCN的周長(zhǎng)與四邊形OMNB的周長(zhǎng)相等，

∴CM+CN+MN=OM+MN+OB，即x+ x+MN=20﹣x+mn+15﹣ x+25，

解得：x= ，

∴CM=

（3）

解：如圖2，

由（2）知，當(dāng)CM=x，則CN= x，MN= x，

①當(dāng)∠OMQ1=90°MN=MQ時(shí)，

∵△OMQ∽△OBC，

∴ = ，

∵M(jìn)N=MQ，

∴ = ，

∴x= ，

∴MN= x= × = ；

②當(dāng)∠MNQ2=90°，MN=NQ2時(shí)，

此時(shí)，四邊形MNQ2Q1是正方形，

∴NQ2=MQ1=MN，

∴MN= ．

【解析】（1）如圖1，過C作CH⊥OB于H，根據(jù)勾股定理得到BC= = =15，根據(jù)三角形的面積公式得到CH= = =12，由勾股定理得到OH= =16，于是得到結(jié)論；（2）∵根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到 = = = ，設(shè)CM=x，則CN= x，根據(jù)已知條件列方程即可得到結(jié)論；（3）如圖2，由（2）知，當(dāng)CM=x，則CN= x，MN= x，①當(dāng)∠OMQ1=90°MN=MQ時(shí)，②當(dāng)∠MNQ2=90°，MN=NQ2時(shí)，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．
【考點(diǎn)精析】關(guān)于本題考查的相似三角形的應(yīng)用，需要了解測(cè)高：測(cè)量不能到達(dá)頂部的物體的高度，通常用“在同一時(shí)刻物高與影長(zhǎng)成比例”的原理解決；測(cè)距：測(cè)量不能到達(dá)兩點(diǎn)間的舉例，常構(gòu)造相似三角形求解才能得出正確答案．