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        1. 【題目】如圖,在平面直角坐標系xOy中,拋物線y=x2+與y軸相交于點A,點B與點O關(guān)于點A對稱

          (1)填空:點B的坐標是 ;

          (2)過點B的直線y=kx+b(其中k<0)與x軸相交于點C,過點C作直線l平行于y軸,P是直線l上一點,且PB=PC,求線段PB的長(用含k的式子表示),并判斷點P是否在拋物線上,說明理由;

          (3)在(2)的條件下,若點C關(guān)于直線BP的對稱點C′恰好落在該拋物線的對稱軸上,求此時點P的坐標.

          【答案】(1)(0,);(2)點P在拋物線上,理由詳見解析;(3)P點坐標為(,1).

          【解析】

          試題分析:(1)由拋物線解析式可求得點A坐標,再利用對稱可求得B點坐標;(2)可先用k表示出C點坐標,過B作BD⊥l于點D,條件可知P點在x軸上方,設(shè)P點縱坐標為y,可表示出PD、PB的長,在Rt△PBD中,利用勾股定理可求得y,則可求出PB的長,此時可得出P點坐標,代入拋物線解析式可判斷P點在拋物線上;(3)利用平行線和軸對稱的性質(zhì)可得到∠OBC=∠CBP=∠C′BP=60°,則可求得OC的長,代入拋物線解析式可求得P點坐標.

          試題解析:(1)∵拋物線y=x2+與y軸相交于點A,

          ∴A(0,),

          ∵點B與點O關(guān)于點A對稱,

          ∴BA=OA=

          ∴OB=,即B點坐標為(0,),

          故答案為:(0,);

          (2)∵B點坐標為(0,),

          ∴直線解析式為y=kx+,令y=0可得kx+=0,解得x=﹣,

          ∴OC=﹣,

          ∵PB=PC,

          ∴點P只能在x軸上方,

          如圖1,過B作BD⊥l于點D,設(shè)PB=PC=m,

          則BD=OC=﹣,CD=OB=,

          ∴PD=PC﹣CD=m﹣,

          在Rt△PBD中,由勾股定理可得PB2=PD2+BD2

          即m2=(m﹣2+(﹣2,解得m=+,

          ∴PB=+,

          ∴P點坐標為(﹣, +),

          當x=﹣時,代入拋物線解析式可得y=+,

          ∴點P在拋物線上;

          (3)如圖2,連接CC′,

          ∵l∥y軸,

          ∴∠OBC=∠PCB,

          又PB=PC,

          ∴∠PCB=∠PBC,

          ∴∠PBC=∠OBC,

          又C、C′關(guān)于BP對稱,且C′在拋物線的對稱軸上,即在y軸上,

          ∴∠PBC=∠PBC′,

          ∴∠OBC=∠CBP=∠C′BP=60°,

          在Rt△OBC中,OB=,則BC=1

          ∴OC=,即P點的橫坐標為,代入拋物線解析式可得y=(2+=1,

          ∴P點坐標為(,1).

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          參賽者編號

          1

          2

          3

          4

          5

          6

          成績/分

          95

          88

          90

          93

          88

          92

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