Question

【題目】已知二次函數(shù)y=x2﹣2mx+4m﹣8,

（1）當(dāng)x≤2時(shí)，函數(shù)值y隨x的增大而減小，求m的取值范圍．

（2）以拋物線y=x2﹣2mx+4m﹣8的頂點(diǎn)A為一個(gè)頂點(diǎn)作該拋物線的內(nèi)接正三角形AMN（M，N兩點(diǎn)在拋物線上），請(qǐng)問：△AMN的面積是與m無(wú)關(guān)的定值嗎？若是，請(qǐng)求出這個(gè)定值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．

（3）若拋物線y=x2﹣2mx+4m﹣8與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)均為整數(shù)，求整數(shù)m的最小值．

Answer 1

【答案】（1）m≥2；（2）△AMN是邊長(zhǎng)為2 的正三角形，S△AMN=3，與m無(wú)關(guān)；（3）m=2．

【解析】試題分析：（1）求出二次函數(shù)的對(duì)稱軸x=m，由于拋物線的開口向上，在對(duì)稱軸的左邊y隨x的增大而減小，可以求出m的取值范圍．

（2）在拋物線內(nèi)作出正三角形，求出正三角形的邊長(zhǎng)，然后計(jì)算三角形的面積，得到△AMN的面積是m無(wú)關(guān)的定值．

（3）當(dāng)y=0時(shí)，求出拋物線與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)，然后確定整數(shù)m的值．

試題解析：（1）二次函數(shù)y=x2-2mx+4m-8的對(duì)稱軸是：x=m．

∵當(dāng)x≤2時(shí)，函數(shù)值y隨x的增大而減小，

而x≤2應(yīng)在對(duì)稱軸的左邊，

∴m≥2．

（2）如圖：頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為（m，-m2+4m-8）

△AMN是拋物線的內(nèi)接正三角形，

MN交對(duì)稱軸于點(diǎn)B，tan∠AMB=tan60°=，

則AB=BM=BN，

設(shè)BM=BN=a，則AB=a，

∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（m+a， a-m2+4m-8），

∵點(diǎn)M在拋物線上，

∴a-m2+4m-8=（m+a）2-2m（m+a）+4m-8，

整理得：a2-a=0

得：a=（a=0舍去）

所以△AMN是邊長(zhǎng)為2的正三角形，

S△AMN=×2×3=3，與m無(wú)關(guān)；

（3）當(dāng)y=0時(shí)，x2-2mx+4m-8=0，

解得：，

∵拋物線y=x2-2mx+4m-8與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)均為整數(shù)，

∴（m-2）2+4應(yīng)是完全平方數(shù)，

∴m的最小值為：m=2．

考點(diǎn): 二次函數(shù)綜合題.