Question

（2012•塘沽區(qū)二模）在直角坐標(biāo)系中，已知：A（-1，0），B（3，0），C（0，2），以A、B、C、D為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，則D點(diǎn)的坐標(biāo)為

（2，-2）或（-4，2）或（4，2）

．

Answer 1

分析：根據(jù)題意分情況進(jìn)行討論，按照不同的情況畫出圖形：
（1）以AB為對(duì)角線，作DM⊥x軸于點(diǎn)M，DN⊥y軸于點(diǎn)N，即可推出四邊形NDMA為矩形，得DN=MO，根據(jù)A（-1，0），B（3，0），C（0，2），求出OA=1，OB=3，OC=2，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)求證△COA≌△DMB，即可求出MD的長(zhǎng)度，然后根據(jù)OB的長(zhǎng)度即可求出OM的長(zhǎng)度，最后根據(jù)D點(diǎn)所在的象限，即可求出D點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）以AC為對(duì)角線時(shí)，作DH⊥x軸于點(diǎn)H，首先根據(jù)A點(diǎn)、B點(diǎn)、C點(diǎn)的坐標(biāo)，求出OA=1，OB=3，OC=2，然后根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)推出CD

∥

.

AB，通過計(jì)算即可求出CD的長(zhǎng)度，再根據(jù)平行線的性質(zhì)推出DH=OC=2，最后根據(jù)D點(diǎn)在第三象限，即可推出D點(diǎn)的坐標(biāo)；
（3）以BC為對(duì)角線，作DE⊥x軸于點(diǎn)E，首先根據(jù)A點(diǎn)、B點(diǎn)、C點(diǎn)的坐標(biāo)，求出OA=1，OB=3，OC=2，然后根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)推出CD

∥

.

AB，通過計(jì)算即可求出CD=4，再根據(jù)平行線間的距離相等求出DE=OC=2，最后根據(jù)D點(diǎn)在第一象限，即可推出D點(diǎn)的坐標(biāo)為（4，2）．

解答：解：（1）如圖1，以AB為對(duì)角線時(shí)，
作DM⊥x軸于點(diǎn)M，DN⊥y軸于點(diǎn)N，
∵x軸垂直于y軸，
∴四邊形NDMA為矩形，
∴DN=MO，
∵A（-1，0），B（3，0），C（0，2），
∴OA=1，OB=3，OC=2，
∵?ACBD，
∴AC

∥

.

BD，
∴∠DBM=∠CAB，
∵∠COA=∠DMB=90°，
∴在△COA和△DMB中，

AC=BD ∠COA=∠DMB ∠CAO=∠DBM

，
∴△COA≌△DMB（AAS），
∴BM=OA=1，MD=OC=2，
∵OB=3，
∴DN=MO=OB-MB=3-1=2，
∵D點(diǎn)在第四象限內(nèi)，
∴D點(diǎn)的坐標(biāo)為（2，-2），

（2）如圖2，以AC為對(duì)角線時(shí)，
作DH⊥x軸于點(diǎn)H，
∵A（-1，0），B（3，0），C（0，2），
∴OA=1，OB=3，OC=2，
∵?ABCD，
∴CD

∥

.

AB，
∴CD=AB=OA+OB=1+3=4，
∵OC⊥HB，
∴DH=OC=2，
∵D點(diǎn)在第三象限，
∴D點(diǎn)的坐標(biāo)為（-4，2），

（3）如圖3，以BC為對(duì)角線，
作DE⊥x軸于點(diǎn)E，
∵A（-1，0），B（3，0），C（0，2），
∴OA=1，OB=3，OC=2，
∵?ABDC，
∴CD

∥

.

AB，
∴CD=AB=OA+OB=1+3=4，
∵OC⊥AE，
∴DE=OC=2，
∵D點(diǎn)在第一象限，
∴D點(diǎn)的坐標(biāo)為（4，2）．
故答案為（2，-2）或（-4，2）或（4，2）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查平行四邊形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，關(guān)鍵在于根據(jù)題意分情況進(jìn)行討論，正確的畫出圖形、作輔助線，熟練運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想和相關(guān)的性質(zhì)定理推出全等的三角形、相等的線段．