Question

【題目】如圖，正方形ABCD，點(diǎn)E為BC中點(diǎn)，點(diǎn)F在邊CD上，連接AE、EF，若∠FEC＝2∠BAE，CF＝8，則線段AE的長(zhǎng)為_____．

Answer 1

【答案】

【解析】

根據(jù)題意連接AF，過(guò)點(diǎn)A作AM⊥EF，設(shè)∠BAE=α，則∠FEC=2α，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到DF=MF，同理EM=BE，設(shè)DF=a，則CD=8+a，由點(diǎn)E為BC邊上的中點(diǎn)，得到BE=EC=EM=a+4，求得EF=a+4，根據(jù)勾股定理列方程即可得到結(jié)論．

解：連接AF，過(guò)點(diǎn)A作AM⊥EF，如圖所示，

∵∠FEC＝2∠BAE，

設(shè)∠BAE＝α，則∠FEC＝2α，

∴∠BEA＝90°﹣α，

∴∠AEM＝90﹣α，

∴∠AEB＝∠AEM，

∵AB⊥BE，AM⊥EM，

∴AB＝AM＝AD，

∵AF＝AF，

∴Rt△AMF≌Rt△ADF（HL），

∴DF＝MF，

同理EM＝BE，

設(shè)DF＝a，則CD＝8+a，

點(diǎn)E為BC邊上的中點(diǎn)，

∴BE＝EC＝EM＝a+4，

∴EF＝a+4，

∴（a+4）2+82＝（a+4）2，

解得a＝4（負(fù)值舍去），

∴DF＝4，

∴AB＝12，BE＝6，

∴AE＝＝6，

故答案為：6．