Question

【題目】如圖，已知：拋物線交x軸于A，C兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)B，且OB=2CO.

(1)求二次函數(shù)解析式；

(2)在二次函數(shù)圖象位于x軸上方部分有兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)M、N，且點(diǎn)N在點(diǎn)M的左側(cè)，過M、N作x軸的垂線交x軸于點(diǎn)G、H兩點(diǎn)，當(dāng)四邊形MNHG為矩形時(shí)，求該矩形周長(zhǎng)的最大值；

(3) 拋物線對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)P，使得△ABP為直角三角形？若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y；（2）；（3）（1，-3）或（1，）或（1，1+）或（1，1-）

【解析】

（1）利用待定系數(shù)法求出A、B、C的坐標(biāo)，然后把B點(diǎn)坐標(biāo)代入，求出a 的值，并化簡(jiǎn)二次函數(shù)式即可；

（2）設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（m，），則點(diǎn)N的坐標(biāo)為（2-m），可得， GM=，利用矩形MNHG的周長(zhǎng)=2MN+2GM，化簡(jiǎn)可得，即當(dāng)時(shí)，C有最大值，最大值為，

（3）分三種情況討論：①點(diǎn)P在AB的下方，②點(diǎn)P在AB的上方，③以AB為直徑作圓與對(duì)稱軸交，分別討論得出結(jié)果即可.

（1）對(duì)于拋物線y=a（x+1）（x-3），

令y=0，得到a（x+1）（x-3）=0，

解得x=-1或3，

∴C（-1，0），A（3，0），

∴OC=1，

∵OB=2OC=2，

∴B（0，2），

把B（0，2）代入y=a（x+1）（x-3）中得：2=-3a，a=-

∴二次函數(shù)解析式為

（2）設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（m，），

則點(diǎn)N的坐標(biāo)為（2-m，），

， GM=

矩形MNHG的周長(zhǎng) C=2MN+2GM

=2（2m-2）+2（）

=

=

∴當(dāng)時(shí)，C有最大值，最大值為，

（3）∵A（3，0），B（0，2），
∴OA=3，OB=2，
由對(duì)稱得：拋物線的對(duì)稱軸是：x=1，
∴AE=3-1=2，
設(shè)拋物線的對(duì)稱軸與x軸相交于點(diǎn)E，當(dāng)△ABP為直角三角形時(shí)，存在以下三種情況：

①如圖1，

當(dāng)∠BAP=90°時(shí)，點(diǎn)P在AB的下方，
∵∠PAE+∠BAO=∠BAO+∠ABO=90°，
∴∠PAE=∠ABO，
∵∠AOB=∠AEP，
∴△ABO∽△PAE，
∴ ，即，

∴PE=3，
∴P（1，-3）；
②如圖2，

當(dāng)∠PBA=90°時(shí)，點(diǎn)P在AB的上方，過P作PF⊥y軸于F，
同理得：△PFB∽△BOA，

∴，即，

∴

∴，

∴P（1，）；

③如圖3，

以AB為直徑作圓與對(duì)稱軸交于P1、P2，則∠AP1B=∠AP2B=90°，
設(shè)P1（1，y），
∵AB2=22+32=13，
由勾股定理得：AB2=P1B2+P1A2，
∴，
解得：，

∴P（1，1+）或（1，1-）

綜上所述，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，-3）或（1，）或（1，1+）或（1，1-）