Question

（2012•衢州一模）如圖，已知拋物線y=ax²+bx+c經過 A（0，4），B（4，0），C（-1，0）三點．過點A作垂直于y軸的直線l．在拋物線上有一動點P，過點P作直線PQ平行于y軸交直線l于點Q．連接AP．
（1）求拋物線y=ax²+bx+c的解析式；
（2）是否存在點P，使得以A、P、Q三點構成的三角形與△AOC相似？如果存在，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由；
（3）當點P位于拋物線y=ax²+bx+c的對稱軸的右側．若將△APQ沿AP對折，點Q的對應點為點M．求當點M落在坐標軸上時直線AP的解析式．

Answer 1

分析：（1）將A（0，4），B（4，0），C（-1，0）分別代入拋物線y=ax²+bx+c，列出方程組，即可求出函數(shù)解析式．
（2）當P在l下方時，令△AOC∽△AQP，△AOC∽△PQA，根據(jù)相似三角形的性質，列比例式，求出點的坐標；當P在l上方時，令△AOC∽△AQP，△AOC∽△PQA，根據(jù)相似三角形的性質，列比例式，求出點的坐標；
（3）畫出函數(shù)圖形，利用三角形相似，求出P點坐標，再利用待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式．

解答：解：（1）將A（0，4），B（4，0），C（-1，0）分別代入拋物線y=ax²+bx+c得，

c=4 16a+4b+c=0 a-b+c=0

，
解得

a=-1 b=3 c=4

，函數(shù)解析式為y=-x²+3x+4．
（2）P在l下方時，令①△AOC∽△AQP，

AO

AQ

=

CO

PQ

，
即

4

x

=

1

4-y

，
由于y=-x²+3x+4，
則有

4

x

=

1

4-(-x2+3x+4)

，
解得x=0（舍去）或x=

13

4

，此時，y=

51

16

，P點坐標為（

13

4

，

51

16

）．
②△AOC∽△PQA，

AQ

CO

=

PQ

AO

，
即

x

1

=

4-y

4

，
由于y=-x²+3x+4，
則有

x

1

=

4-(-x2+3x+4)

4

，
解得，x=0（舍去）或x=7，P點坐標為（7，-24）．
③P在l上方時，令△AOC∽△PQA，

AQ

CO

=

PQ

AO

，
即

x

1

=

y-4

4

，
∵y=-x²+3x+4，
∴

x

1

=

-x2+3x+4-4

4

，
解得，x=0（舍去）或x=-1，P點坐標為（-1，0）．
④△AOC∽△AQP，

AO

AQ

=

CO

PQ

，即

4

x

=

1

y-4

∴

4

x

=

1

-x2+3x+4-4

，
解得，x=0（舍去）或x=

11

4

，P點坐標為（

11

4

，

75

16

）．
（3）如圖（1），若對稱點M在y軸，則∠PAQ=45°，
設AP解析式為y=kx+b，則k=1或-1，
當k=1時，把A（0，4）代入得y=x+4，
當k=-1時，把A（0，4）代入得y=-x+4，
此時P在對稱軸右側，符合題意，
∴y=x+4，或y=-x+4，
設點Q（x，4），P（x，-x²+3x+4），則PQ=x²-3x=PM，
∵△AEM∽△MFP．
則有

AM

ME

=

MP

PF

，
∵ME=OA=4，AM=AQ=x，PM=PQ=x²-3x，
∴

x

4

=

x2-3x

PF

，
解得：PF=4x-12，
∴OM=（4x-12）-x=3x-12，
Rt△AOM中，由勾股定理得OM²+OA²=AM²，
∴（3x-12）²+4²=x²，解得x₁=4，x₂=5，均在拋物線對稱軸的右側，
故點P的坐標為（4，0）或（5，-6）．
設一次函數(shù)解析式為y=kx+b，
把（0，4）（4，0）分別代入解析式得

b=4 4k+b=0

，
解得

b=4 k=-1

，
函數(shù)解析式為y=-x+4．
把（0，4）（5，-6）分別代入解析式得

b=4 5k+b=-6

，
解得

b=4 k=-2

，
函數(shù)解析式為y=-2x+4．
綜上所述，函數(shù)解析式為y=x+4，y=-x+4，y=-2x+4．

點評：本題考查了二次函數(shù)解析式的求法、二次函數(shù)解析式、相似三角形的性質、翻折變換、待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式等，題目錯綜復雜，涉及知識面廣，旨在考查邏輯思維能力．