Question

【題目】如圖1，已知直線y=﹣2x+4與兩坐標(biāo)軸分別交于點(diǎn)A、B，點(diǎn)C為線段OA上一動(dòng)點(diǎn)，連接BC，作BC的中垂線分別交OB、AB交于點(diǎn)D、E．

（l）當(dāng)點(diǎn)C與點(diǎn)O重合時(shí)，DE= ；

（2）當(dāng)CE∥OB時(shí)，證明此時(shí)四邊形BDCE為菱形；

（3）在點(diǎn)C的運(yùn)動(dòng)過程中，直接寫出OD的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）1；（2）證明詳見解析；（3）≤OD≤2．

【解析】

試題分析：（1）畫出圖形，根據(jù)DE垂直平分BC，可得出DE是△BOA的中位線，從而利用中位線的性質(zhì)求出DE的長(zhǎng)度；

（2）先根據(jù)中垂線的性質(zhì)得出DB=DC，EB=EC，然后結(jié)合CE∥OB判斷出BE∥DC，得出四邊形BDCE為平行四邊形，結(jié)合DB=DC可得出結(jié)論．

（3）求兩個(gè)極值點(diǎn)，①當(dāng)點(diǎn)C與點(diǎn)A重合時(shí)，OD取得最小值，②當(dāng)點(diǎn)C與點(diǎn)O重合時(shí)，OD取得最大值，繼而可得出OD的取值范圍．

試題解析：解：∵直線AB的解析式為y=﹣2x+4，

∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2，0），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0，4），即可得OB=4，OA=2，

（1）當(dāng)點(diǎn)C與點(diǎn)O重合時(shí)如圖所示，

∵DE垂直平分BC（BO），

∴DE是△BOA的中位線，

∴DE=OA=1；

（2）當(dāng)CE∥OB時(shí)，如圖所示：

∵DE為BC的中垂線，

∴BD=CD，EB=EC，

∴∠DBC=∠DCB，∠EBC=∠ECB，

∴∠DCE=∠DBE，

∵CE∥OB，

∴∠CEA=∠DBE，

∴∠CEA=∠DCE，

∴BE∥DC，

∴四邊形BDCE為平行四邊形，

又∵BD=CD，

∴四邊形BDCE為菱形．

（3）當(dāng)點(diǎn)C與點(diǎn)O重合時(shí)，OD取得最大值，此時(shí)OD=OB=2；

當(dāng)點(diǎn)C與點(diǎn)A重合時(shí)，OD取得最小值，如圖所示：

在Rt△AOB中，AB==2，

∵DE垂直平分BC（BA），

∴BE=BA=，

易證△BDE∽△BAO，

∴，即，

解得：BD=，

則OD=OB﹣BD=4﹣=．

綜上可得：≤OD≤2．