Question

已知正方形ABCD中，E為對(duì)角線BD上一點(diǎn)，過E點(diǎn)作EF⊥BD交BC于F，連接DF，G為DF中點(diǎn)，連接EG，CG．
（1）直接寫出線段EG與CG的數(shù)量關(guān)系；
（2）將圖1中△BEF繞B點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45º，如圖2所示，取DF中點(diǎn)G，連接EG，CG．你在（1）中得到的結(jié)論是否發(fā)生變化？寫出你的猜想并加以證明．  
（3）將圖1中△BEF繞B點(diǎn)旋轉(zhuǎn)任意角度，如圖3所示，再連接相應(yīng)的線段，問（1）中的結(jié)論是否仍然成立？（不要求證明）

Answer 1

解：（1）CG=EG
（2）（1）中結(jié)論沒有發(fā)生變化，即EG=CG．
證明：連接AG，過G點(diǎn)作MN⊥AD于M，與EF的延長(zhǎng)線交于N點(diǎn)．

在△DAG與△DCG中，
∵ AD=CD，∠ADG=∠CDG，DG=DG，
∴ △DAG≌△DCG．
∴ AG=CG．
在△DMG與△FNG中，
∵ ∠DGM=∠FGN，F(xiàn)G=DG，∠MDG=∠NFG，
∴ △DMG≌△FNG．
∴ MG=NG
在矩形AENM中，AM=EN．
在Rt△AMG 與Rt△ENG中，
∵ AM=EN， MG=NG，
∴ △AMG≌△ENG．
∴ AG=EG
∴ EG=CG．
（3）（1）中的結(jié)論仍然成立．

本題主要是利用正方形的性質(zhì)和三角形全等來證明線段相等。難點(diǎn)在于正確的做出輔助線。