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        1. 【題目】如圖,已知拋物線y=x2﹣2x﹣3x軸交于A,B兩點(點A在點B的左側(cè)),與y軸交于點C,該拋物線頂點為D,對稱軸交x軸于點H

          1)求A,B兩點的坐標(biāo);

          2)設(shè)點Px軸下方的拋物線上,當(dāng)∠ABP=∠CDB時,求出點P的坐標(biāo);

          3)以OB為邊最第四象限內(nèi)作等邊△OBM.設(shè)點Ex軸的正半軸上一動點(OEOH),連接ME,把線段ME繞點M順時針旋轉(zhuǎn)60°MF,求線段DF的長的最小值.

          【答案】1A﹣10),B30);(2P2,﹣3);(3)線段DF的長的最小值存在,最小值是2+

          【解析】試題分析:(1)令y=0,求得關(guān)于x的方程x2﹣2x﹣3=0的解即為點A、B的橫坐標(biāo);

          2)設(shè)Px,x2﹣2x﹣3),根據(jù)拋物線解析式求得點D的坐標(biāo)為D1﹣4);結(jié)合坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)求得線段CD=CB=3,BD=2;所以根據(jù)勾股定理的逆定理推知∠BCD=90°,則易推知相似三角形△BCD∽△PNB,由該相似三角形的對應(yīng)邊成比例來求x的值,易得點P的坐標(biāo);

          3)正確做出等邊△OBM和線段ME所對應(yīng)的旋轉(zhuǎn)線段MF,如圖2.過點B,F作直線交對稱軸于點G.構(gòu)建全等三角形:△EOM≌△FBM,由該全等三角形的性質(zhì)和圖形中相關(guān)角間的和差關(guān)系得到:

          ∠OBF=120°為定值,即BF所在直線為定直線.過D點作DK⊥BFK為垂足線段DF的長的最小值即為DK的長度.

          解:(1)令y=0,得x2﹣2x﹣3=0,

          解得x1=﹣1,x2=3,

          ∴A﹣1,0),B3,0

          2)設(shè)Px,x2﹣2x﹣3),

          如圖1,過點PPN⊥x軸,垂足為N

          連接BP,設(shè)∠NBP=∠CDB

          x=0,得y=x2﹣2x﹣3=﹣3,

          ∴C0,﹣3

          ∵y=x2﹣2x﹣3=x﹣12﹣4

          ∴D1,﹣4).

          由勾股定理,得CD=,CB=3,BD=2

          ∴BD2=BC2+CD2

          ∴∠BCD=90°

          ∵∠BCD=∠PNB=90°∠NBP=∠CDB

          ∴△BCD∽△PNB

          =,

          =,即x2﹣5x+6=0

          解得x1=2,x2=3(不合題意,舍去).

          當(dāng)x=2時,y=﹣3

          ∴P2,﹣3);

          3)正確做出等邊△OBM和線段ME所對應(yīng)的旋轉(zhuǎn)線段MF,如圖2

          過點BF作直線交對稱軸于點G

          由題意可得:

          ,

          ∴△EOM≌△FBM

          ∴∠MBF=∠MOB=60°

          ∵∠OBF=∠OBM+∠MBF=60°+60°=120°為定值,

          ∴BF所在直線為定直線.

          D點作DK⊥BF,K為垂足.

          Rt△BGH中,∠HBG=180°﹣120°=60°,

          ∴∠HGB=30°

          ∵HB=3,

          ∴BG=4,HG=2

          ∵D1﹣4),

          ∴DH=4,

          ∴DG=2+4

          Rt△DGK中,∠DGK=30°

          ∴DK=DG=2+

          當(dāng)點E與點H重合時,這時BF=OH=1,

          GF=4+1=5

          GK=DK=3+25,即點K在點F運動的路徑上,

          所以線段DF的長的最小值存在,最小值是2+

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