Question

等邊△OAB在平面直角坐標(biāo)系中（圖1），已知點(diǎn)A（2，0），將△OAB繞點(diǎn)O順時(shí)針?lè)较蛐�轉(zhuǎn)a°（0＜a＜360）得△OA₁B₁．
（1）直接寫出點(diǎn)B的坐標(biāo)；
（2）當(dāng)a=30°時(shí)，求△OAB與△OA₁B₁重合部分（圖2中的陰影部分）的面積；
（3）當(dāng)A₁，B₁的縱坐標(biāo)相同時(shí)，求a的值；
（4）當(dāng)60＜a＜180時(shí)，設(shè)直線A₁B₁與BA相交于點(diǎn)P，PA、PB₁的長(zhǎng)是方程x²-mx+m=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，求此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)A點(diǎn)坐標(biāo)可知，正三角形的邊長(zhǎng)是2，過(guò)B作x軸的垂線，根據(jù)三角函數(shù)即可求得；
（2）陰影部分的面積=S_△OAN-S_△OAM，而這兩個(gè)三角形的面積很容易得到；
（3）當(dāng)A₁，B₁的縱坐標(biāo)相同時(shí)，A₁B₁∥x軸，a₁=120°或a₂=300°
（4）可以證明PA=PB₁，即方程x²-mx+m=0的兩個(gè)相等實(shí)數(shù)根，根據(jù)根的判別式即可求得m的值，從而求得PA，PB₁的長(zhǎng)，得到P的坐標(biāo)．

解答：解：（1）B的坐標(biāo)是（1，

3

）；（1分）

（2）圖2中的陰影部分的面積=S_△OAN-S_△OAM
=

1

2

×1×

3

-

1

2

×(2-

3

)×(2-

3

)

3

=6-3

3

；（3分）

（3）當(dāng)A₁，B₁的縱坐標(biāo)相同時(shí)，A₁B₁∥x軸，
∴a₁=120°或a₂=300°；（5分）

（4）連接AB₁，

∵OA=OB₁=2，
∴∠OAB₁=∠0B₁A
∴∠PB₁G=∠B₁AH，
又∵∠PAB₁=180°-60°-∠B₁AH=120°-∠B₁AH
∠PB₁A=180°-60°-∠AB₁G=120°-∠AB₁G
∴∠PAB₁=∠PB₁A，
∴PA=PB₁（6分）
∴方程x²-mx+m=0的兩個(gè)相等實(shí)數(shù)根，（7分）
△=（-m）²-4m=0
m₁=0（舍去），m₂=4（8分）
方程為：x²-4x+4=0，
解得：x₁=x₂=2，
∴PA=PB₁=2（9分）
在直角△APM中，PM=AP•sin60°=2×

3

2

=

3

，
AM=AP•cos60°=1，則OM=OA-AM=3-1=2．
∴P點(diǎn)坐標(biāo)為（3，-

3

）（10分）

點(diǎn)評(píng)：本題綜合運(yùn)用了平行于x軸的點(diǎn)的坐標(biāo)的關(guān)系，以及一元二次方程的根的判別式，題目難度較大．